Chứng minh :
a) │x│ \(\ge\)x ; │x│\(\ge\)-x
b) │x+y│\(\le\)│x│ + │y│
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TC
Chứng minh rằng nếu $a \ge b$, $x \ge y$ thì $\dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}2$.
6
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
9 tháng 2 2022
ta có :
\(\frac{ax+by}{2}\ge\frac{a+b}{2}.\frac{x+y}{2}\Leftrightarrow2\left(ax+by\right)\ge\left(a+b\right)\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(ax+by\right)\ge ax+ay+bx+by\)
\(\Leftrightarrow ax-ay+by-bx\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)\ge0\)
Điều này đúng do giả thuyết \(a\ge b,x\ge y\)
25 tháng 7 2022
Ta có \dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}22ax+by≥ 2a+b. 2x+ y
\Leftrightarrow 2(ax+by) \ge (a + b)(x + y)⇔2(ax+by) ≥ (a+b)(x+y)
\Leftrightarrow 2(ax+by) \ge ax + ay + bx + by⇔2(ax+by) ≥ax+ay+bx+by
\Leftrightarrow ax + by - ay - bx \ge 0⇔ax+by−ay−bx ≥0
\Leftrightarrow (a - b)(x - y) \ge 0⇔(a−b)(x−y)≥0 (luôn đúng vì giả thiết a \ge ba≥b và x \ge yx≥y).
Vậy nếu a \ge ba≥b, x \ge yx≥y thì \dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}22ax+by≥ 2a+b. 2x+ y.
N
1
N
1
13 tháng 5 2021
Áp dụng BĐT cosi:
`x+9/x>=6`
`=>x+1/x`
`=x+9/x-8/x>=6-8/x`
Vì `x>=3=>8/x<=8/3`
`=>6-8/x>=6-8/3=10/3`
Dấu "=" `<=>x=3`
DH
1
6 tháng 12 2022
a: \(A=\left(x^2-7x+6\right)\left(x^2-7x+12\right)+9\)
\(=\left(x^2-7x\right)^2+18\left(x^2-7x\right)+81\)
\(=\left(x^2-7x+9\right)^2>=0\)
b: Vì A=(x^2-7x+9)^2
nên A là số chính phương
1 tháng 8 2017
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)
\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y\)
b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)
Đúng với AM-GM 4 số
Xảy ra khi \(x=y=z=t\)
18 tháng 6 2021
`x+y+z>=0` là chưa đủ phải là `x,y,z>=0` mới đúng.
`x+y+z>=sqrt{xy}+sqrt{yz}+sqrt{zx}`
`<=>2x+2y+2z>=2sqrt{xy}+2sqrt{yz}+2sqrt{zx}`
`<=>x-2sqrt{xy}+y+y-2sqrt{yz}+z+z-2sqrt{zx}+x>=0`
`<=>(sqrtx-sqrty)^2+(sqrty-sqrtz)^2+(sqrtz-sqrtx)^2>=0` luôn đúng
Dấu `"="<=>x=y=z`
18 tháng 6 2021
Áp dụng bdt Co-si, ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(z+x\ge2\sqrt{xz}\)
=> 2(x+y+z) \(\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
=> đpcm
PV
1
BN
8 tháng 8 2017
1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)
\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)
T
8 tháng 8 2017
2.
a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
b) Lần trước mk giải rồi nhá
3.
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)
\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
11 tháng 5 2017
Bài 2:
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b
tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11