CMR
a.1/căn1 + 1/căn 2 +......+1/căn 100 >10
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
15 tháng 6 2017
Ta có: \(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}\)
\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{121}-\sqrt{120}\)
\(=\sqrt{121}-1=11-1=10\)
Lại có đánh giá: \(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{2\sqrt{k}}>\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\left(k>1\right)\)
\(\frac{1}{\sqrt{k}}>\frac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{k+1-k}=2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\)
SUy ra \(B>1+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\)
\(=1+2\left(\sqrt{36}-\sqrt{2}\right)>1+2\left(6-1\right)=10=A\)
Nên B>A
NT
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
21 tháng 11 2021
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{9}}\right)+...+\left(\frac{1}{\sqrt{82}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\right)\)
\(>\frac{1}{\sqrt{1}}+\left(\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{9}}+...+\frac{1}{\sqrt{9}}\right)+...+\left(\frac{1}{\sqrt{100}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\right)\)
\(>\frac{1}{1}+\frac{2}{2}+\frac{3}{3}+...+\frac{10}{10}=10\)
TL
18 tháng 6 2019
Ứng dụng giải toán đã được review rất hay bởi trang báo uy tín https://www.facebook.com/docbaoonlinethayban/videos/467035000526358/?v=467035000526358 Cả nhà tải ngay bằng link dưới đây nhé. https://giaingay.com.vn/downapp.html
HT
0
DP
0
HT
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 9 2019
Ý bạn là \(18< \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}< 19\) ?
Ta có:
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{2}{2\sqrt{1}}+\frac{2}{2\sqrt{2}}+...+\frac{2}{2\sqrt{100}}\)
\(\Rightarrow A>\frac{2}{1+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{100}+\sqrt{101}}\)
\(\Rightarrow A>\frac{2\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+\frac{2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+...+\frac{2\left(\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)}{\left(\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)\left(\sqrt{101}+\sqrt{100}\right)}\)
\(\Rightarrow A>2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-2+...+\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)\)
\(\Rightarrow A>2\left(\sqrt{101}-1\right)>2\left(\sqrt{100}-1\right)=18\)
Tương tự:
\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}=1+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+...+\frac{2}{2\sqrt{100}}\)
\(\Rightarrow A< 1+\frac{2}{1+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
Nhân liên hợp tử mẫu và rút gọn ta được (giống chứng minh >18 bên trên):
\(A< 1+2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(\Rightarrow A< 1+2\left(\sqrt{100}-1\right)=1+18=19\)
\(\Rightarrow18< A< 19\) (đpcm)
từ 0<1<2<3<...<100 suy ra 0 < căn 1<căn 2<...< căn 100 = 10. suy ra 1/căn 1>1/căn 2>...>1/căn 100( sử dụng quy tắc so ánh 2 phân số cùng tử va mẫu đều dương) . suy ra a> 100 nhân 1/10=10 suy ra 1/căn 1+1/căn 2+...+1/căn 100>10 ( dpcm)