K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

9 tháng 12 2018

\(\frac{2005a}{ab+2005a+2005}+\frac{b}{bc+b+2005}+\frac{c}{ac+c+1}\)

\(=\frac{a^2bc}{ab+a^2bc+abc}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)(vì abc=2005)

\(=\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+1+c}{ac+1+c}=1\)

5 tháng 12 2016

Thau abc = 2005 vào đề bài ta có:

N = abc.a/ab+abc.a+abc + b/bc+b+abc + c/ac+c+1

N = a^2bc/ab(1+ac+c) + b/b(c+1+ac) + c/ac+c+1

N = ac/1+ac+c + 1/(c+1+ac) + c/ac+c+1

N = ac+1+c/ac+1+c = 1

=> đpcm

AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 11 2018

Câu a:

\(a+b+c=0\Rightarrow a=-b-c\)

\(\Rightarrow a^2-b^2-c^2=(-b-c)^2-b^2-c^2=(b+c)^2-b^2-c^2\)

\(=2bc\)

\(\Rightarrow \frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}=\frac{a^2}{2bc}\). Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại:

\(\Rightarrow M=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)

Lại có:

\(a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3\)

\(=-c^3+3abc+c^3=3abc\)

\(\Rightarrow M=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)

Vậy giá trị của biểu thức M không phụ thuộc vào biến $a,b,c$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 11 2018

Câu b:

Thay $2005=abc$ ta có:

\(N=\frac{abc.a}{ab+abc.a+abc}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)

\(=\frac{ab.ac}{ab(1+ac+c)}+\frac{b}{b(c+1+ac)}+\frac{c}{ac+c+1}\)

\(=\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+1+c}{1+ac+c}=1\)

Vậy giá trị của biểu thức $N$ không phụ thuộc vào giá trị biến $a,b,c$

(đpcm)

1 tháng 7 2017

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{cases}}\)

Với \(a+b=0\)

Thì \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\\\frac{1}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\end{cases}}\)

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại ta có ĐPCM

10 tháng 12 2019

Với \(a,b,c\ne0\); \(a+b+c\ne0\) , ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)=abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+c\left(ab+bc+ca\right)=abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+abc+bc^2+c^2a=abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+bc^2+c^2a=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+c^2\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)

Không mất tính tổng quát, ta lấy \(a=-b\), ta có:

\(\frac{1}{a^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}\)

\(=\frac{-1}{b^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\) (1)

Ta có:\(\frac{1}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}\)

\(=\frac{1}{-b^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\) (2)

Từ (1), (2), suy ra \(\frac{1}{a^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}\)

10 tháng 12 2019

Cái chỗ không mất tính tổng quát đấy, là do a, b, c bình đẳng nhau.

26 tháng 10 2020

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kb\\c=kd\end{cases}}\)

a) \(\frac{a^{2004}-b^{2004}}{a^{2004}+b^{2004}}=\frac{\left(kb\right)^{2004}-b^{2004}}{\left(kb\right)^{2004}+b^{2004}}=\frac{k^{2004}b^{2004}-b^{2004}}{k^{2004}b^{2004}+b^{2004}}=\frac{b^{2004}\left(k^{2004}-1\right)}{b^{2004}\left(k^{2004}+1\right)}=\frac{k^{2004}-1}{k^{2004}+1}\)(1)

\(\frac{c^{2004}-d^{2004}}{d^{2004}+d^{2004}}=\frac{\left(kd\right)^{2004}-d^{2004}}{\left(kd\right)^{2004}+d^{2004}}=\frac{k^{2004}d^{2004}-d^{2004}}{k^{2004}d^{2004}+d^{2004}}=\frac{d^{2004}\left(k^{2004}-1\right)}{d^{2004}\left(k^{2004}+1\right)}=\frac{k^{2004}-1}{k^{2004}+1}\)(2)

Từ (1) và (2) => đpcm

b) \(\frac{a^{2005}}{b^{2005}}=\frac{\left(kb\right)^{2005}}{b^{2005}}=\frac{k^{2005}b^{2005}}{b^{2005}}=k^{2005}\)(1)

\(\frac{\left(a-c\right)^{2005}}{\left(b-d\right)^{2005}}=\frac{\left(kb-kd\right)^{2005}}{\left(b-d\right)^{2005}}=\frac{\left[k\left(b-d\right)\right]^{2005}}{\left(b-d\right)^{2005}}=\frac{k^{2005}\left(b-d\right)^{2005}}{\left(b-d\right)^{2005}}=k^{2005}\)(2)

Từ (1) và (2) => đpcm