Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left(S\right):\left(x 1\right)^2 \left(y-2\right)^2 \left(z-3\right)^2=48\) và đường thẳng \(\left(d\right):\dfrac{x 1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\...

Để tìm phương trình mặt phẳng (P) và tính bán kính đường tròn giao tuyến, ta cần tìm điểm giao giữa mặt cầu (S) và đường thẳng Δ. Đầu tiên, ta thay đổi phương trình đường thẳng Δ từ phương trình chính tắc sang phương trình tham số.

Phương trình tham số của đường thẳng Δ là: x = t y = 1 + t z = 1 + 2t

Tiếp theo, ta thay các giá trị x, y, z vào phương trình mặt cầu (S) để tìm điểm giao: (t)2 + (1 + t + 1)2 + (1 + 2t - 2)2 = 10 t2 + (t + 2)2 + (2t - 1)2 = 10 t2 + t2 + 4t + 4 + 4t2 - 4t + 1 - 10 = 0 6t2 + 4t - 5 = 0

Giải phương trình trên, ta tìm được t = 1/2 và t = -5/6. Thay t vào phương trình tham số của Δ, ta có các điểm giao là: Điểm giao thứ nhất: (1/2, 3/2, 5/2) Điểm giao thứ hai: (-5/6, 1/6, -1/6)

Tiếp theo, ta tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm giao này. Sử dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm: (x - x1)(y2 - y1) - (y - y1)(x2 - x1) = 0

Điểm giao thứ nhất: (1/2, 3/2, 5/2) Điểm giao thứ hai: (-5/6, 1/6, -1/6)

Thay các giá trị vào công thức, ta có: (x - 1/2)((1/6) - (3/2)) - (y - 3/2)((-5/6) - (1/2)) + (z - 5/2)((-1/6) - (3/2)) = 0 -2x + 2y - z + 4 = 0

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: -2x + 2y - z + 4 = 0.

Tiếp theo, để tính bán kính đường tròn giao tuyến, ta tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (P). Khoảng cách này chính bằng bán kính đường tròn giao tuyến.

Đặt điểm A là tâm mặt cầu (x0, y0, z0) = (0, -1, 2). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức: d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Thay các giá trị vào công thức, ta có: d = |(0)(-2) + (-1)(2) + (2)(-1) + 4| / sqrt((-2)^2 + 2^2 + (-1)^2) d = 5 / sqrt(9) d = 5/3

Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là 5/3.

Vậy đáp án đúng là: (P): -2x + 2y - z + 4 = 0; r = 5/3

Đúng(0)

TD

Thành Đạt

29 tháng 8 2023

Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left(P\right):x+y-z+2=0\) và hai đường thẳng \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=t\\z=2+2t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=3-t'\\y=1+t'\\z=1-2t'\end{matrix}\right.\). Biết rằng có hai đường thẳng có các đặc điểm: song song với \(\left(P\right)\), cắt \(d\), \(d'\) và tạo với \(d\) góc \(30^\circ\). Gọi hai đường thẳng đó là \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\),...

Đọc tiếp

#Toán lớp 12

1

M

meme

3 tháng 9 2023

Để tính cos(Δ1;Δ2), ta cần tìm vector chỉ phương của hai đường thẳng Δ1 và Δ2.

Vector chỉ phương của đường thẳng d là (1, t, 2) và vector chỉ phương của đường thẳng d' là (-1, 1, -2).

Để tìm vector chỉ phương của mặt phẳng (P), ta lấy vector pháp tuyến của mặt phẳng. Ta có vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (1, 1, -1).

Để hai đường thẳng Δ1 và Δ2 song song với mặt phẳng (P), ta có điều kiện là vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 cũng phải song song với vector pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vì vậy, ta cần tìm vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 sao cho chúng song song với vector (1, 1, -1).

Ta có thể tìm vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 bằng cách lấy tích vector của vector chỉ phương của d hoặc d' với vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Tính tích vector của (1, t, 2) và (1, 1, -1): (1, t, 2) x (1, 1, -1) = (t-3, 3t+1, -t-1)

Tính tích vector của (-1, 1, -2) và (1, 1, -1): (-1, 1, -2) x (1, 1, -1) = (-1, -3, -2)

Hai vector trên là vector chỉ phương của Δ1 và Δ2. Để tính cos(Δ1;Δ2), ta sử dụng công thức:

cos(Δ1;Δ2) = (Δ1.Δ2) / (|Δ1|.|Δ2|)

Trong đó, Δ1.Δ2 là tích vô hướng của hai vector chỉ phương, |Δ1| và |Δ2| là độ dài của hai vector chỉ phương.

Tính tích vô hướng Δ1.Δ2: (t-3)(-1) + (3t+1)(-3) + (-t-1)(-2) = -t-3

Tính độ dài của Δ1: |Δ1| = √[(t-3)² + (3t+1)² + (-t-1)²] = √[11t² + 2t + 11]

Tính độ dài của Δ2: |Δ2| = √[(-1)² + (-3)² + (-2)²] = √[14]

Vậy, cos(Δ1;Δ2) = (-t-3) / (√[11t² + 2t + 11] * √[14])

Để tính giá trị của cos(Δ1;Δ2), ta cần biết giá trị của t. Tuy nhiên, trong câu hỏi không cung cấp giá trị cụ thể của t nên không thể tính được giá trị chính xác của cos(Δ1;Δ2).

Đúng(0)

A

AllesKlar

15 tháng 4 2022

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{1}\) và hai điểm \(A\left(6;0;0\right)\), \(B\left(0;0;-6\right)\). Khi điểm \(M\) thay đổi trên đường thẳng \(d\), hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=MA+MB\)A. \(minP=6\sqrt{3}\) B. \(minP=6\sqrt{2}\) C. \(minP=9\) D. \(minP=12\)Mình cần bài giải ạ, mình cảm ơn...

Đọc tiếp

#Toán lớp 12

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

15 tháng 4 2022

Phương trình d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=1+2t\\z=-1+t\end{matrix}\right.\)

Gọi \(M\left(1+2t;1+2t;-1+t\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(2t-5;2t+1;t-1\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(2t+1;2t+1;t+5\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{\left(2t-5\right)^2+\left(2t+1\right)^2+\left(t-1\right)^2}+\sqrt{\left(2t+1\right)^2+\left(2t+1\right)^2+\left(t+5\right)^2}\)

\(=\sqrt{9t^2-18t+27}+\sqrt{9t^2+18t+27}\)

\(=\sqrt{\left(3-3t\right)^2+18}+\sqrt{\left(3+3t\right)^2+18}\)

\(\ge\sqrt{\left(3-3t+3+3t\right)^2+4.18}=6\sqrt{3}\)

Đúng(2)

NT

Nguyễn Thanh Hải

5 tháng 4 2016

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,qua 2 điểm M(1;-1;1) và N(0;-1;0) lập phương trình mặt phẳng \(\alpha\) cắt mặt cầu \(\left(S\right)\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-1\right)^2=5\) một thiết diện đường tròn mà diện tích hình tròn sinh bởi đường tròn có diện tích \(S=\pi\)

#Toán lớp 12

1

NT

Nguyễn Trọng Nghĩa

5 tháng 4 2016

Mặt cầu (S) có tâm I(-2;-1;1) và bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Gọi r là bán kinh đường tròn thiết diện, theo giả thiết ta có : \(S=\pi\Leftrightarrow r^2.\pi=\pi\Rightarrow r=1\)

Gọi d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng \(\alpha\), ta có \(d^2=R^2-r^2=5-1\Rightarrow d=2\)

Mặt phẳng \(\alpha\), qua N (0;-1;0) có dạng \(Ax+B\left(y+1\right)+Cz=0\Leftrightarrow Ax+By+Cz+B=0\left(A^2+B^2+C^2\ne0\right)\)

Mặt khác, \(\alpha\) qua M(1;-1;1) nên thỏa mãn \(A+C=0\Rightarrow\text{ }\) \(\alpha:Ax+By-Az+B=0\)

Vì \(d=d\left(I,\alpha\right)=\frac{\left|-3A\right|}{\sqrt{2A^2+B^2}}=2\Leftrightarrow A^2=4B^2\Rightarrow\frac{A}{B}=\pm2\) vì \(A^2+B^2+C^2\ne0\)

Do đó có 2 mặt phẳng \(\alpha\), cần tìm là \(2x+y-2z+1=0\) và \(2x-y-2z-1=0\)

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thái Quân

22 tháng 3 2019

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng \(\left(d_1\right):\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2}\), \(\left(d_2\right):\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{2}\), \(\left(d_3\right):\frac{x-4}{2}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z-1}{1}\). Mặt cầu tâm tiếp xúc với cả ba đường thẳng \(\left(d_1\right),\left(d_2\right),\left(d_3\right)\). Tính \(S=a+2b+3c\). A. S = 10 B. S = 11 C. S = 12 D. S =...

Đọc tiếp

#Toán lớp 12

0

PA

Phương Anh

2 tháng 6 2017

cho đường thẳng d \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=-1+3t\\z=1\end{matrix}\right.\).Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d vs trục Ox là A. \(\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-2\right)^2=\dfrac{1}{2}\) C. \(\left(x-1\right)^2+y^2+z^2=\dfrac{1}{2}\) B.\(\left(x+1\right)^2+y^2+\left(z+2\right)^2=\dfrac{1}{4}\) D....

Đọc tiếp

#Toán lớp 11

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

19 tháng 5 2022

Chọn D

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thái Quân

3 tháng 4 2019

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\left(P\right)\) là mặt phẳng chứa \(d:\frac{x-4}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+4}{-4}\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left(S\right):\left(x-3\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-1\right)^2=9\) . Khi đó mặt phẳng \(\left(P\right)\) cắt trục Oz tại điểm nào ? A. \(\left(0;0;2\right)\) B. \(\left(0;0;-2\right)\) C. \(\left(0;0;-4\right)\) D....

Đọc tiếp

#Toán lớp 12

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

4 tháng 4 2019

Ta có \(A\left(4;0;-4\right)\) và \(B\left(1;-1;0\right)\) thuộc d

Gọi phương trình (P): \(ax+by+cz+4d=0\)

Do (P) chứa d \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-4c+4d=0\\a-b+4d=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=c-d\\b=a+4d=c+3d\end{matrix}\right.\)

Phương trình (P) viết lại:

\(\left(c-d\right)x+\left(c+3d\right)y+cz+4d=0\)

Do (P) tiếp xúc (S):

\(d\left(I;\left(P\right)\right)=R\Leftrightarrow\frac{\left|3\left(c-d\right)-3\left(c+3d\right)+c+4d\right|}{\sqrt{\left(c-d\right)^2+\left(c+3d\right)^2+c^2}}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|c-8d\right|=3\sqrt{3c^2+4cd+10d^2}\)

\(\Leftrightarrow26c^2+52cd+26d^2=0\) \(\Rightarrow c=-d\)

Giao của (P) và trục Oz (\(x=0;y=0\)):

\(cz+4d=0\Rightarrow z=-\frac{4d}{c}=4\Rightarrow\left(0;0;4\right)\)

Đúng(0)

TU

Tú Uyênn

20 tháng 6 2020

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu đi qua 3 điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và có tâm thuộc mp \(\left(P\right):x+y+z-2=0\) có pt là A.\(\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-1\right)^2=1\) B. \(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z+2\right)^2=1\) C. \(\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-1\right)^2=4\) D....

Đọc tiếp

#Toán lớp 12

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

20 tháng 6 2020

Trắc nghiệm: thay tọa độ B vào 4 đáp án chỉ có duy nhất đáp án A thỏa mãn => chọn A

Tự luận:

\(\overrightarrow{BA}=\left(1;0;1\right)\) , \(M\left(\frac{3}{2};0;\frac{1}{2}\right)\) là trung điểm AB

Mặt phẳng trung trực AB có pt:

\(1\left(x-\frac{3}{2}\right)+1\left(z-\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow x+z-2=0\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(0;1;1\right)\) ; \(N\left(1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) là trung điểm BC

Pt mp trung trực của BC:

\(1\left(y-\frac{1}{2}\right)+1\left(z-\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow y+z-1=0\)

Tâm I của mặt cầu thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x+z-2=0\\y+z-1=0\\x+y+z-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(1;0;1\right)\)

\(\overrightarrow{BI}=\left(0;0;1\right)\Rightarrow R=BI=1\)

Phương trình: \(\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-1\right)^2=1\)

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP