Cho hai số phức \(z_1,z_2\) thỏa mãn \(\left|z_1+3+2i\right|=1\) và \(\left|z_2+2-i\right|=1\). Xét các số phức \(z=a+bi\), (\(a,b\in R\)) thỏa mãn \(2a-b=0\). Khi biểu thức \(T=\left|z-z_1\right|+\left|z-2z_2\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị biểu thức \(P=a^2+b^2\) bằng?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1=\left|iz_2+1-i\right|=\left|i\right|.\left|iz_2+1-i\right|=\left|-z_2+i+1\right|\)
\(\left|z_1+1-2i\right|=1\Leftrightarrow\left|3z_1+3-6i\right|=3\)
Trên mặt phẳng tọa độ, số phức \(-z_2+i\) là tập hợp các điểm \(M\) thuộc đường tròn tâm \(I_1\left(-1,0\right)\) bán kính \(R_1=1\); số phức \(3z_1\) là tập hợp các điểm \(N\) thuộc đường tròn tâm \(I_2\left(-3,6\right)\) bán kính \(R_2=3\).
\(P=\left|3z_1+z_2-i\right|=\left|3z_1-\left(-z_2+i\right)\right|=MN\).
Ta có \(I_1I_2=2\sqrt{10}>4=R_1+R_2\) nên hai đường tròn \(\left(I_1\right)\) và \(\left(I_2\right)\) rời nhau do đó
\(maxP=maxMN=I_1I_2+R_1+R_2=4+2\sqrt{10}\).
1=|iz2+1−i|=|i|.|iz2+1−i|=|−z2+i+1|1=|iz2+1−i|=|i|.|iz2+1−i|=|−z2+i+1|
|z1+1−2i|=1⇔|3z1+3−6i|=3|z1+1−2i|=1⇔|3z1+3−6i|=3
Trên mặt phẳng tọa độ, số phức −z2+i−z2+i là tập hợp các điểm MM thuộc đường tròn tâm I1(−1,0)I1(−1,0) bán kính R1=1R1=1; số phức 3z13z1 là tập hợp các điểm NN thuộc đường tròn tâm I2(−3,6)I2(−3,6) bán kính R2=3R2=3.
P=|3z1+z2−i|=|3z1−(−z2+i)|=MNP=|3z1+z2−i|=|3z1−(−z2+i)|=MN.
Ta có I1I2=2√10>4=R1+R2I1I2=210>4=R1+R2 nên hai đường tròn (I1)(I1) và (I2)(I2) rời nhau do đó
maxP=maxMN=I1I2+R1+R2=4+2√10maxP=maxMN=I1I2+R1+R2=4+210.
Mik ko chắc nhưng mik nghĩ là đúng thả GP cho mik nha!!!
Lời giải:
Đặt \(\frac{z_1}{z_2}=t\Rightarrow \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\overline{t}\)
Ta cần chứng minh \(\overline{t}=\frac{\overline{z_2t}}{\overline{z_2}}\Leftrightarrow \overline{t}\overline{z_2}=\overline{tz_2}\)
Đặt \(t=a+bi,z_2=c+di\). Bài toán tương đương với:
\((a-bi)(c-di)=\overline{(a+bi)(c+di)}\Leftrightarrow ac-bd-i(ad+bc)=ac-i(ad+bc)-bd\)
(luôn đúng)
Do đó ta có đpcm
b)
Dựa vào phần a, ta có:
\(\text{VT}^2=\frac{z_1}{z_2}.\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{z_1}{z_2}.\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}=\frac{|z_1|^2}{|z_2|^2}=\text{VP}^2\)
\(\Rightarrow \text{VT}=\text{VP}\) (cùng dương)
Ta có đpcm
Câu 1:
Gọi \(A\left(1;-1\right)\) và \(B\left(2;3\right)\Rightarrow\) tập hợp \(z\) thoả mãn điều kiện đề bài là đường trung trực d của đoạn AB, ta dễ dàng viết được phương trình d có dạng \(4x-y-5=0\)
Gọi \(M\left(-2;-1\right)\) và \(N\left(3;-2\right)\) và \(I\left(a;b\right)\) là điểm bất kì biểu diễn \(z\Rightarrow I\in d\) \(\Rightarrow P=IM+IN\). Bài toán trở thành dạng cực trị hình học phẳng quen thuộc: cho đường thẳng d và 2 điểm M, N cố định, tìm I thuộc d để \(P=IM+IN\) đạt GTNN
Thay toạ độ M, N vào pt d ta được 2 giá trị trái dấu \(\Rightarrow M;N\) nằm về 2 phía so với d
Gọi \(C\) là điểm đối xứng M qua d \(\Rightarrow IM+IN=IC+IN\), mà \(IC+IN\ge CN\Rightarrow P_{min}=CN\) khi I, C, N thẳng hàng
Phương trình đường thẳng d' qua M và vuông góc d có dạng:
\(1\left(x+2\right)+4\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+4y+6=0\)
Gọi D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+4y+6=0\\4x-y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\frac{14}{17};-\frac{29}{17}\right)\)
\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left(-2;-1\right)\Rightarrow P_{min}=CN=\sqrt{\left(3+2\right)^2+\left(-2+1\right)^2}=\sqrt{26}\)
Bài 2:
Tập hợp \(z\) là các điểm M thuộc đường tròn (C) tâm \(I\left(0;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\) có phương trình \(x^2+\left(y-1\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\left|z\right|=OM\Rightarrow\left|z\right|_{max}\) khi và chỉ khi \(M;I;O\) thẳng hàng và M, O nằm về hai phía so với I
\(\Rightarrow M\) là giao điểm của (C) với Oy \(\Rightarrow M\left(0;1+\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phần ảo của z là \(b=1+\sqrt{2}\)
Câu 3:
\(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)=5+\sqrt{2}i\)
\(\Rightarrow z=5-\sqrt{2}i\Rightarrow b=-\sqrt{2}\)
Câu 4
\(z.z'=\left(m+3i\right)\left(2-\left(m+1\right)i\right)=2m-\left(m^2+m\right)i+6i+3m+3\)
\(=5m+3-\left(m^2+m-6\right)i\)
Để \(z.z'\) là số thực \(\Leftrightarrow m^2+m-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\)
Câu 5:
\(A\left(-4;0\right);B\left(0;4\right);M\left(x;3\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(4;4\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(x+4;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A,B,M\) khi và chỉ khi \(\frac{x+4}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=-1\)
Câu 6:
\(z=3z_1-2z_2=3\left(1+2i\right)-2\left(2-3i\right)=-1+12i\)
\(\Rightarrow b=12\)
Câu 7:
\(w=\left(1-i\right)^2z\)
Lấy môđun 2 vế:
\(\left|w\right|=\left|\left(1-i\right)^2\right|.\left|z\right|=2m\)
Câu 8:
\(3=\left|z-1+3i\right|=\left|z-1-i+4i\right|\ge\left|\left|z-1-i\right|-\left|4i\right|\right|=\left|\left|z-1-i\right|-4\right|\)
\(\Rightarrow\left|z-1-i\right|\ge-3+4=1\)
\(z^2-4z+5=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z_1+z_2=4\\z_1z_2=5\end{matrix}\right.\) theo hệ thức Viet
\(w=\dfrac{z_1+z_2}{z_1z_2}+i.z_1z_2\left(z_1+z_2\right)=\dfrac{4}{5}+i.5.4=\dfrac{4}{5}+20i\)