Cho hình vuông ABCD gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD. MD cắt AC tại P, NC cắt BD tại Q, MD cắt NC tại E, PQ cắt BE tại F. Chứng minh BC=BE và PF=EF
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 5 2019
a) Gọi I là giao điểm của PE và QF. Ta thấy P thuộc trung trực của BE nên \(\Delta\)BPE cân tại P
Kết hợp với ^PBE = 450 => \(\Delta\)PBE vuông cân tại P. Tương tự \(\Delta\)CQF vuông cân tại Q.
Do đó ^POQ= ^OPE = ^OQF = 900 cho nên tứ giác POQI là hình chữ nhật.
=> ^EIF = 900. Mà ^IEF = ^PEB = 450 nên \(\Delta\)EIF vuông cân tại I
Ta có ^EMF = ^AMD = 450 = 1/2.^EIF => \(\Delta\)MEF nội tiếp đường trong tâm I bán kính IE=IF
Cũng dễ có PE // AO (Cùng vuông góc OB). Do vậy ^IME = ^IEM = ^PEA = ^OAE = ^OMA
=> Hai tia MI,MO trùng nhau => O,I,M thẳng hàng. Từ tứ giác POQI là hình chữ nhật ta suy ra OI chia đôi PQ
=> OM cũng chia đôi PQ (đpcm).
b) Dễ thấy khoảng cách tứ K,O,L đến BC bằng AB/2 nên K,O,L thẳng hàng.
Khi đó dễ thấy tứ giác PQTS là hình thang cân nhận KL làm trục đối xứng
Lúc này ta có ^POI = ^OPQ = ^OST => OI vuông góc với ST hay OM vuông góc với ST
=> ^VUM = 900 - ^UMO = 900 - ^OAM = 900 - ^MDC = ^ADV => Tứ giác DAUV nội tiếp
=> ^KUV = ^ADV = 1800 - ^VLK. Từ đây có tứ giác KLVU nội tiếp
Hoặc 4 điểm K,L,U,V cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
28 tháng 9 2019
Gọi H là trung điểm DC.
Chứng minh HE// IF( vì cùng //BC)
=> HE vuông FK ( vì FK vuông IF)
Tương tự HF// EI( vì cùng //AD)
=> HF vuông EK( vì EK vuông IE)
Xét tam giác EFH có EK và FK là 2 đường cao nên K là trực tâm. Suy ra HK vuông FE mà FE //DC nên HK vuông DC tại H suy ra tam giác KDC cân tại K. Nên KD=KC