Question

[Thầy Cao Đô]

(3,0 điểm) 1. Mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=6$ m, chiều rộng $BC=4$ m. Người ta trồng hoa trên phần đất là nửa hình tròn đường kính $AD$ và nửa đường tròn đường kính $BC$, phần còn lại của mảnh đất để trồng cỏ. Tính diện tích phần đất trồng cỏ (phần tô đậm trong hình vẽ bên dưới, kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

2. Cho $\left( O \right)$ và điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn. Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AB,$ $AC$ với đường tròn $\left( O \right)$ ($B,$ $C$ là các tiếp điểm). Kẻ đường kính $BD$ của đường tròn $\left( O \right)$.

a) Chứng minh $ABOC$ là tứ giác nội tiếp đường tròn và $\widehat{BDC}=\widehat{AOC}$.

b) Kẻ $CK$ vuông góc với $BD$ tại $K$. Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $CK$. Chứng minh rằng $I$ là trung điểm của $CK$.

Answer 1

[Lê Song Phương]

1) Diện tích của mảnh đất hình chữ nhật ABCD là \(S_{ABCD}=AB.BC=6.4=24\left(m^2\right)\)

Diện tích của phần đất trồng hoa có dạng nửa đường tròn đường kính BC là \(S_{hoa}=\dfrac{S_{hìnhtròn}}{2}=\dfrac{\pi r^2}{2}=\dfrac{\pi.\dfrac{d^2}{4}}{2}=\dfrac{\pi.\dfrac{4^2}{4}}{2}=2\pi\left(m^2\right)\)
Vì diện tích của phần đất có dạng nửa đường tròn đường kính AD chính bằng diện tích của phần đất có dạng nửa đường tròn đường kính BC nên diện tích của phần đất để trồng cỏ bằng:

\(S_{cỏ}=S_{ABCD}-2S_{hoa}=24-2.2\pi=24-4\pi\approx11,4\left(m^2\right)\)

Vậy diện tích trồng cỏ bằng khoảng 11,4m².

Answer 2

[Nguyễn Huy Tú]

a, Ta có AB ; AC lần lượt là tiếp tuyến đường tròn (O) với B;C là tiếp điểm 

Xét tứ giác ABOC có ^ACO + ^ABO = 180⁰

mà 2 góc này đối nhau 

Vậy tứ giác ABOC là góc nt chắn nửa đường tròn 

Ta có ^BDC = ^ABC ( cùng chắn cung BC ) 

mà ^AOC = ^ABC ( góc nt chắn cung AC của tứ giác ABOC ) 

=> ^AOC = ^BDC 

b, +) Kẻ DC cắt AB tại K 

Ta có ^DCB = 90⁰ ( góc nt chắn nửa đường tròn ) 

=> ^BCK = 90⁰; AB = AC ( tc tiếp tuyến cắt nhau ) 

=> AB = AC = AK 

Lại có CK vuông BD ; AB vuông BD => CK // AB 

Xét tam giác BDA có KI // AB theo hệ quả Ta lét \(\dfrac{KI}{AB}=\dfrac{DI}{AD}\)(1) 

Xét tam giác KDA có IC // AK theo hệ quả Ta lét \(\dfrac{DI}{AD}=\dfrac{IC}{AK}\)(2) 

Từ (1) ; (2) suy ra \(\dfrac{KI}{AB}=\dfrac{IC}{AK}\)mà AB = AK (cmt) 

=> KI = IC => I là trung điểm KC