Giải bất đẳng thức sau
x2+y2 ≥ \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)≥2xy
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 5 2021
Điều kiện là \(xy\ne0\)
BĐT tương đương:
\(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-1\right)\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2-xy\right)\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) (luôn đúng)
19 tháng 11 2021
\(a,VT=\dfrac{x^2+2xy+4-3x^2-3xy}{\left(x+y\right)\left(x+2y\right)}=\dfrac{-2x^2-xy+4}{\left(x+y\right)\left(x-2y\right)}=VP\\ b,VP=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=\dfrac{x+y}{x-y}=VT\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 7 2021
Cả 4 đều không đúng:
A. Sai khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác
A. Sai khi \(\left(a;b\right)=\left(1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác
C. Sai khi \(\left(x;y\right)=\left(-1;-1\right)\) và nhiều trường hợp khác
D. Sai khi \(\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 7 2018
Lời giải:
Nếu $x,y$ trái dấu: Ta thấy vế trái luôn lớn hơn $0$, còn vế phải sẽ nhỏ hơn $0$ do \(x,y\) trái dấu thì \(\frac{x}{y}; \frac{y}{x}< 0\)
Do đó \(\text{VT}> \text{VP}(1)\)
Nếu $x,y$ cùng dấu:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(=t^2+2-3t=(t-1)(t-2)\) với \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương:
\(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)
\(\Rightarrow t-1>0; t-2\geq 0\Rightarrow (t-1)(t-2)\geq 0\)
Hay \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\) (2)
Từ $(1);(2)$ ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y\neq 0\)
4 tháng 9 2021
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)\)
4 tháng 9 2021
a: Ta có: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
HP
12 tháng 11 2021
\(a.\left(2xy-3\right)^2=4x^2y^2-12xy+9\)
\(b.\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{9}\)
TV
1
14 tháng 1 2017
CMR : a) Có thể tìm được số có dạng 199119911991...19910...0 chia hết cho 1992
Help
17 tháng 9 2023
\(\dfrac{2x-2xy-3+3y}{1-3y+3y^2-y^3}=\dfrac{2x\left(1-y\right)-3\left(1-y\right)}{\left(1-y\right)^3}\)
\(=\dfrac{\left(2x-3\right)\left(1-y\right)}{\left(1-y\right)^3}=\dfrac{2x-3}{\left(1-y\right)^2}\)
Sửa đề:" CM BĐT
x^2+y^2>=(x+y)^2/2
=>2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2>=0
=>(x-y)^2>=0(luôn đúng)(1)
(x+y)^2/2>=2xy
=>(x+y)^2>=4xy
=>(x-y)^2>=0(luôn đúng)(2)
Từ (1), (2) suy ra ĐPCM