CMR:
1/3+2/3^2+3/3^3+......+2008/3^2008<3/4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 6 2016
- Đặt \(S=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{2008}{3^{2008}}\)(1)
- Ta có: \(\frac{1}{3}S=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+...+\frac{2007}{3^{2008}}+\frac{2008}{3^{2009}}\)(2)
- Trừ vế với vế 2 đửng thức (1) và (2) ta có:
\(S-\frac{1}{3}S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{3^{2007}}+\frac{1}{3^{2008}}-\frac{2008}{3^{2009}}<\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{3^{2007}}+\frac{1}{3^{2008}}\)(3)
- Đặt \(P=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{3^{2007}}+\frac{1}{3^{2008}}\)
- \(\left(1-\frac{1}{3}\right)P=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{3^{2007}}+\frac{1}{3^{2008}}-\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{3^{2008}}+\frac{1}{3^{2009}}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{2009}}<\frac{1}{3}\)
- \(\frac{2}{3}P<\frac{1}{3}\Rightarrow P<\frac{1}{2}\)(4)
- Từ (3) và (4)
\(\Rightarrow\frac{2}{3}S<\frac{1}{2}\Rightarrow S<\frac{3}{4}\)(ĐPCM)
NA
1
NL
16 tháng 4 2018
Ta có: Xét thừa số tổng quát. Với mọi n là số thực dương thì: \(\dfrac{1}{n^3}< \dfrac{1}{n^3-n}=\dfrac{1}{n\left(n^2-1\right)}=\dfrac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\) Áp dụng vào bài toán: \(NL=\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{2008^3}< \dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{2007.2008.2009}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2007.2008}-\dfrac{1}{2008.2009}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2008.2009}\right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2008.2009.2}< \dfrac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
PT
1
LT
0
RP
1
AT
28 tháng 9 2017
Ta có:
\(3^1+3^2+3^3+3^4+...+3^{2009}+3^{2010}\)
\(=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{2008}+3^{2009}+3^{2010}\right)\)
\(=3\left(1+3+3^2\right)+3^4\left(1+3+3^2\right)+...+3^{2008}\left(1+3+3^2\right)\)
\(=\left(1+3+3^2\right)\left(3+3^4+...+3^{2008}\right)\)
\(=13\left(3+3^4+...+3^{2008}\right)⋮13\)
=> ĐPCM