Question

[Kimian Hajan Ruventaren]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm Max của biểu thức 

\(P=\dfrac{a}{a^3+b^2+c}+\dfrac{b}{b^3+c^2+a}+\dfrac{c}{c^3+a^2+b}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\left(a^3+b^2+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+1+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^2+c}{a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+a+ac}=\dfrac{9}{1+a+ac}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^3+b^2+c}\le\dfrac{1+a+ac}{9}\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{b^3+c^2+a}\le\dfrac{1+b+ab}{9}\); \(\dfrac{c}{c^3+a^2+b}\le\dfrac{1+c+bc}{9}\)

Cộng vế:

\(P\le\dfrac{3+a+b+c+ab+bc+ca}{9}\le\dfrac{6+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^3}{9}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)