cho các số dương a,b,c,d,e.Chứng minh :a/(b+c) +b/(c+d) +c/(d+e) +d/(e+a) +e/(a+b) lớn hơn hoặc bằng 5/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HT
3
ML
15 tháng 6 2015
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-e\left(a+b+c+d\right)\)
\(=\left(a^2-ae+\frac{1}{4}e^2\right)+\left(b^2-be+\frac{1}{4}e^2\right)+\left(c^2-ce+\frac{1}{4}e^2\right)+\left(d^2-de+\frac{1}{4}e^2\right)\)
\(=\left(a-\frac{e}{2}\right)^2+\left(b-\frac{e}{2}\right)^2+\left(c-\frac{e}{2}\right)^2+\left(d-\frac{e}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge e\left(a+b+c+d\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=\frac{e}{2}\)
5 tháng 12 2016
Mình sẽ chứng minh bằng biến đổi tương đương nhé :)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-ab+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ad+d^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vì BĐT cuối luôn đúng nên BĐT ban đầu được chứng minh.
LC
23 tháng 6 2015
Đặt P=(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)(b-c)(b-d)(b-e)(c-d)(c-e)(d-e)
*Với 5 số a,b,c,d,e có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử hai số đó là a và b khi đó a-b chia hết cho 3. Bỏ đi b, xét 4 số còn lại. Trong 4 số này có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử 2 số đó là d và e khi đó d-e chia hết cho 3. =>P chia hết cho 9(1).
*Trong 5 số tự nhiên có ít nhất 3 số cùng tính chẵn lẻ.
-Nếu có cả 5 số cùng tính chẵn lẻ hiển nhiên tất cả các thừa số của P đều chia hết cho 2.
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho 32
-Nếu trong 5 số có 4 số cùng tính chẵn lẻ, 4 số này tạo ra 6 thừa số của tích, mà mỗi tích đều chia hết cho 2.
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho 32
-Nếu trong 5 số có 3 số cùng tính chẵn, không mất tính tổng quát giả sử đó là a,b,c.
Đặt a=2.m,b=2.n,c=2.p,d=2.q+1,e=2.l+1
=>P là tích của 16(m-n)(m-p)(n-p)(q-l) và 6 thừa số lẻ. Trong 3 số m,n,p có ít nhất 2 số cùng tính chẵn lẻ, chúng tạo ra 1 thừa số chia hết cho 2.
=>P chia hết cho 32
Tương tự với 3 số cùng lẻ và 2 số cùng chẵn thì P chia hết cho 32.
=> P chia hết cho 32(2).
Từ (1) và (2) ta thấy: P chia hết cho 9 và 32.
Mà (9,32)=1
=>P chia hết cho 9.32.
=>P chia hết cho 288
=> ĐPCM
23 tháng 6 2015
Đặt P=(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)(b-c)(b-d)(b-e)(c-d)(c-e)(d-e)
*Với 5 số a,b,c,d,e có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử hai số đó là a và b khi đó a-b chia hết cho 3. Bỏ đi b, xét 4 số còn lại. Trong 4 số này có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử 2 số đó là d và e khi đó d-e chia hết cho 3. =>P chia hết cho 9(1).
*Trong 5 số tự nhiên có ít nhất 3 số cùng tính chẵn lẻ.
-Nếu có cả 5 số cùng tính chẵn lẻ hiển nhiên tất cả các thừa số của P đều chia hết cho 2.
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho 32
-Nếu trong 5 số có 4 số cùng tính chẵn lẻ, 4 số này tạo ra 6 thừa số của tích, mà mỗi tích đều chia hết cho 2.
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho 32
-Nếu trong 5 số có 3 số cùng tính chẵn, không mất tính tổng quát giả sử đó là a,b,c.
Đặt a=2.m,b=2.n,c=2.p,d=2.q+1,e=2.l+1
=>P là tích của 16(m-n)(m-p)(n-p)(q-l) và 6 thừa số lẻ. Trong 3 số m,n,p có ít nhất 2 số cùng tính chẵn lẻ, chúng tạo ra 1 thừa số chia hết cho 2.
=>P chia hết cho 32
Tương tự với 3 số cùng lẻ và 2 số cùng chẵn thì P chia hết cho 32.
=> P chia hết cho 32(2).
Từ (1) và (2) ta thấy: P chia hết cho 9 và 32.
Mà (9,32)=1
=>P chia hết cho 9.32.
=>P chia hết cho 288
=> ĐPCM
BD
0
14 tháng 8 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{4a\left(b+c\right)}}=1\)
Tương tự với các phân thức còn lại, sau đó cộng theo vế ta được :
\(VT+\frac{b+c}{4a}+\frac{c+d}{4b}+\frac{d+e}{4c}+\frac{e+a}{4d}+\frac{a+b}{4e}\ge5\)
\(\Leftrightarrow VT\ge5-\frac{1}{4}\left(\frac{b+c}{a}+\frac{c+d}{b}+\frac{d+e}{c}+\frac{e+a}{d}+\frac{a+b}{e}\right)\)
\(=5-\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{d}{c}+\frac{e}{c}+\frac{e}{d}+\frac{a}{d}+\frac{a}{e}+\frac{b}{e}\right)\)
\(\ge5-\frac{1}{4}\cdot10\sqrt[10]{\frac{b\cdot c\cdot c\cdot d\cdot d\cdot e\cdot e\cdot a\cdot a\cdot b}{a\cdot a\cdot b\cdot b\cdot c\cdot c\cdot d\cdot d\cdot e\cdot e}}=5-\frac{1}{4}\cdot10=\frac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=e=1\)
Gợi ý cho bạn :
Đặt \(x=a+b\), \(y=b+c\) , \(z=c+d\) , \(t=d+e\), \(u=e+a\),
Ta có \(a=\frac{x+u-t+z-y}{2}\), \(b=\frac{x+y+t-z-u}{2}\), \(c=\frac{y+z+u-t-x}{2}\), \(d=\frac{z+t+x-y-u}{2}\), \(e=\frac{t+u+y-x-z}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}\)
\(=\frac{x+u+z-t-y}{2y}+\frac{x+y+t-z-u}{2z}+\frac{y+z+u-t-x}{2t}+\frac{z+t+x-y-u}{2u}+\frac{t+u+y-x-z}{2x}\)
Đến đây nhóm lại rồi áp dụng BĐT Cauchy.