CMR với mọi A, B, C > 0
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
17 tháng 8 2016
Có \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
Thay x,y lần lượt là các cặp \(\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c}\right);\left(\frac{b}{c};\frac{c}{a}\right);\left(\frac{c}{a};\frac{a}{b}\right)\) ta được \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\frac{a}{c}\) \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2\frac{b}{a}\) \(\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\ge2\frac{c}{b}\)
Cộng lại ta có \(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 2 2020
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^2.ab.b^2}}=a-\frac{a+b}{3}=\frac{2a}{3}-\frac{b}{3}\)
Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{2b}{3}-\frac{c}{3}\) ; \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{2c}{3}-\frac{a}{3}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{b^2c^2}}\ge\frac{2a}{c}\) ; \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\) ; \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
2. \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc.ac}{ab}}=2c\) ; \(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2b\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
17 tháng 8 2016
Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\) được :
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\) (đpcm)
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{abc}}\ge3\sqrt[3]{\frac{8abc}{abc}}=6\) (đpcm)
Giải phần dấu "=" ra ta được a = b =c
Bài 2: Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\)
Suy ra \(a=\frac{x-y+z}{2};b=\frac{x+y-z}{2};c=\frac{y+z-x}{2}\)
Suy ra cần chứng minh \(\frac{x-y+z}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}\ge6\)
Bài toán đúng theo kết quả câu 1.
10 tháng 8 2018
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{bc+ab}+\frac{c^4}{ac+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
Ta có \(\frac{1a^2}{b}+b\ge2a\)
\(\frac{1b^2}{c}+c\ge2b\)
\(\frac{1c^2}{a}+a\ge2c\)
Cộng vế theo vế ta được
\(\frac{1a^2}{b}+\frac{b^2}{C}+\frac{c^2}{a}\)+ a + b + c \(\ge\)2(a + b + c)
<=> \(\frac{1a^2}{b}+\frac{b^2}{C}+\frac{c^2}{a}\)\(\ge\)a + b + c
Dùng Swartz 2 số 1 ra luôn mà