a) cho a + b =2 . Tìm GTNN của A= \(^{a^2+b^2}\)
b) cho x+2y=8. Tìm GTLN của B =xy
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AG
1
2 tháng 10 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{3}{2}\)
____
\(x+2y=8\Leftrightarrow x=8-2y\)
\(B=xy=y\left(8-2y\right)\)
\(\Leftrightarrow B=-2\left(y^2-4y\right)\)
\(\Leftrightarrow B=-2\left(y^2-4y+4-4\right)\)
\(\Leftrightarrow B=-2\left[\left(y-2\right)^2-4\right]=8-2\left(y-2\right)^2\le8\forall y\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=4\end{matrix}\right.\)
15 tháng 1 2019
Bài 2 :
a) \(P=x^2+y^2+xy+x+y\)
\(2P=2x^2+2y^2+2xy+2x+2y\)
\(2P=x^2+2xy+y^2+x^2+2x+1+y^2+2y+1-2\)
\(2P=\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-2\)
\(P=\frac{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-2}{2}\)
\(P=\frac{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2}{2}-1\le-1\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\x+1=0\\y+1=0\end{cases}}\)
Mình nghĩ đề phải là tìm GTLN của \(P=x^2+y^2+xy+x-y\)hoặc đổi dấu x và y thì dấu "=" mới xảy ra đc
17 tháng 1 2019
@ Phương ơi ! Cái dòng \(P=\)cuối ấy . Chỗ đấy là \(\ge-1\)em nhé!
NT
2
3 tháng 11 2016
1/ x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2/ x² + ax + bc = 0 (1)
x² + bx + ac =0 (2)
Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2)
x1 là nghiệm chung của 2 pt
x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0
trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0
<=> (x1).(a - b) = c(a - b)
<=> x1 = c
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c)
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c
thay a = - b - c vào (1):
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1')
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b
tương tự, thay b = - a - c vào (2):
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2')
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a
Vậy
{ x2 + x3 = a + b
{ x2.x3 = ab
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt:
x² - (a + b)x + ab =0
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105
Đặt Q(x) = P(x) - 5x
Ta có:
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x)
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x)
Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2
Q(x) được biểu diễn dưới dạng:
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m)
mà Q(x) = P(x) - 5x
--> P(x) = Q(x) + 5x
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x
P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45
--> [ P(12) - P(-9) ] / 105
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105
= (10.11.21 + 105) / 105
= (2.5.11.21 + 105) / 105
= (2.11.105 + 105) / 105
= 22 + 1 = 23
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
31 tháng 10 2016
a)
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1)
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)²
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9
<--> x² + y² + z² ≥ 3
--> M ≥ 3
--> min M = 3 khi x = y = z = 1
b)
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2/ x² + ax + bc = 0 (1)
x² + bx + ac =0 (2)
Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2)
x1 là nghiệm chung của 2 pt
x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0
trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0
<=> (x1).(a - b) = c(a - b)
<=> x1 = c
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c)
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c
thay a = - b - c vào (1):
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1')
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b
tương tự, thay b = - a - c vào (2):
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2')
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a
Vậy
{ x2 + x3 = a + b
{ x2.x3 = ab
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt:
x² - (a + b)x + ab =0
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105
Đặt Q(x) = P(x) - 5x
Ta có:
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x)
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x)
Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2
Q(x) được biểu diễn dưới dạng:
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m)
mà Q(x) = P(x) - 5x
--> P(x) = Q(x) + 5x
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x
P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45
--> [ P(12) - P(-9) ] / 105
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105
= (10.11.21 + 105) / 105
= (2.5.11.21 + 105) / 105
= (2.11.105 + 105) / 105
= 22 + 1 = 23
16 tháng 10 2015
Bài 1 bạn phải dùng BDT Bunhiacopxki : ( ax +by )2 <= ( nhỏ hơn bằng ) ( a2 + b2 )( x2 + Y2 )
Ở đây hệ số của x là 1 nên a là 1.
Ta có: ( x + 2y )2 <= ( 12 + (căn2)2 ) ( x2 + ( căn 2 )2y2 )
=> 1 <= 3 ( x2 + 2y2 )
=> x2 + 2y2 >= 1/3
19 tháng 6 2016
Bài 1: Sử dụng phép thế
Có x - y = 2 => x = 2 + y
Thay x = 2 + y vào các biểu thức cần tính
Bài 2:
\(P=9-2\left|x-3\right|\le9\) dấu bằng <=> x = 3
\(Q=\left|x-2\right|+\left|x-8\right|=\left|x-2\right|+\left|8-x\right|\ge\left|x-2+8-x\right|=6\) dấu bằng <=> \(\left(x-2\right)\left(8-x\right)\ge0\)
10 tháng 2 2016
mk ngu đại số lắm sorry nha Nhưng nếu hình thì mk giải đc
31 tháng 10 2016
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1)
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)²
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9
<--> x² + y² + z² ≥ 3
--> M ≥ 3
--> min M = 3 khi x = y = z = 1
31 tháng 10 2016
x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1
a) \(A=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\frac{4}{2}=2\)
A min = 2 khi a =b =1
b) x = 8 -2y => \(B=xy=\left(8-2y\right)y=-2y^2+8y-8+8=-2\left(y-2\right)^2+8\le8\)
B max = 8 khi y = 2 ; x = 4