Với a,b,c>0 và a+b+c=3
cm A=\(\frac{a^2}{a+2b^2}\)+\(\frac{b^2}{b+2c^2}\)+\(\frac{c^2}{c+2a^2}\)>=1
giải nhanh giúp mik vs
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LD
12 tháng 3 2021
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{bc+ac-ab}{abc}=0\)
Vì \(a,b,c\ne0\Rightarrow abc\ne0\)
\(\Rightarrow bc+ac-ab=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(bc+ac\right)^2=\left(ab\right)^2\\\left(bc-ab\right)^2=\left(-ac\right)^2\\\left(ac-ab\right)^2=\left(-bc\right)^2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2=-2abc^2\\b^2c^2+a^2b^2-a^2c^2=2ab^2c\\a^2c^2+a^2b^2-b^2c^2=2a^2bc\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow E=\frac{a^2b^2c^2}{2ab^2c}+\frac{a^2b^2c^2}{-2abc^2}+\frac{a^2b^2c^2}{2a^2bc}\)
\(\Rightarrow E=\frac{ac}{2}-\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}=\frac{ac-ab+bc}{2}=\frac{0}{2}=0\)
CHÚC BẠN HỌC TỐT
12 tháng 3 2021
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{bc+ac-ab}{abc}=0\)
Vì \(a,b,c\ne0\Rightarrow a.b.c\ne0\)
\(\Rightarrow bc+ac-ab=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(bc+ac\right)^2=\left(ab\right)^2\\\left(bc-ab\right)^2=\left(-ac\right)^2\\\left(ac-ab\right)^2=\left(-bc\right)^2\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2=-abc^2\\b^2c^2+a^2b^2-a^2c^2=2ab^2c\\a^2c^2+a^2b^2-b^2c^2=2a^2bc\end{cases}}\)
\(\Rightarrow E=\frac{a^2b^2c^2}{2ab^2c}+\frac{a^2b^2c^2}{-2abc^2}+\frac{a^2b^2c^2}{2a^2bc}\)
\(\Rightarrow E=\frac{ac}{2}-\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}=\frac{ac-ab+bc}{2}=\frac{0}{2}=0\)
Vậy \(E=0\)
NH
19 tháng 2 2020
Áp dụng bđt Cauchy-schwarz dạng engel ta có:
1. \(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2c}+\frac{c^2}{c+2a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+2b\right)+\left(b+2c\right)+\left(c+2a\right)}=\frac{a+b+c}{3}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{a}{a+2b}=\frac{b}{b+2c}=\frac{c}{c+2a}\Leftrightarrow a=b=c\)
2. \(\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(2a+3b\right)+\left(2b+3c\right)+\left(2c+3a\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
KN
9 tháng 6 2020
Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa a + b + c = 1
Khi đó, ta cần chứng minh: \(\frac{\left(a+1\right)^2}{2a^2+\left(1-a\right)^2}+\frac{\left(b+1\right)^2}{2b^2+\left(1-b\right)^2}+\frac{\left(c+1\right)^2}{2c^2+\left(1-c\right)^2}\le8\)
Xét bất đẳng thức phụ: \(\frac{\left(x+1\right)^2}{2x^2+\left(1-x\right)^2}\le4x+\frac{4}{3}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(3x-1\right)^2\left(4x+1\right)}{2x^2+\left(1-x\right)^2}\ge0\)*đúng*
Áp dụng, ta được: \(\frac{\left(a+1\right)^2}{2a^2+\left(1-a\right)^2}+\frac{\left(b+1\right)^2}{2b^2+\left(1-b\right)^2}+\frac{\left(c+1\right)^2}{2c^2+\left(1-c\right)^2}\)\(\le4\left(a+b+c\right)+4=4.1+4=8\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
25 tháng 7 2019
Chuẩn hóa ta có : \(a+b+c=3\)
=> \(\frac{\left(2a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}=\frac{\left(a+3\right)^2}{2a^2+\left(3-a\right)^2}=\frac{a^2+6a+9}{3\left(a^2-2a+3\right)}\)
Xét\(\frac{a^2+6a+9}{3\left(a^2-2a+3\right)}\le\frac{4}{3}a+\frac{4}{3}\)
<=> \(a^2+6a+9\le4\left(a+1\right)\left(a^2-2a+3\right)\)
<=> \(4a^3-5a^2-2a+3\ge0\)
<=> \(\left(a-1\right)^2\left(4a+3\right)\ge0\)luôn đúng
Khi đó
\(VT\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)+4=\frac{4}{3}.3+4=8\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 5 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
\((2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2\)
\(=[a(a+b+c)]^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a^3}{[a(a+b+c)]^2}=\frac{a}{(a+b+c)^2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Để khi nào rảnh t làm cho
Chớ máy t hết pin rồi