tìm các số dương x , y ,z biết x + y +z = 3 , \(x^4+y^4+z^4=3xyz\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
P
0
24 tháng 7 2020
a) Vì vai trò của x, y, z như nhau nên ko mất tính tổng quát, giả sử x≤y≤zx≤y≤z
⇒⇒ 3z ≥≥ xyz
⇒⇒ 3 ≥≥ xy
Vì xy nguyên dương nên xy = 1 hoặc xy = 2
+ Nếu xy = 1 thì x + y + z = z ⇒⇒ x + y = 0, loại vì x, y nguyên dương
+ Nếu xy = 2 thì x + y + z = 2z ⇒⇒ x + y = z. Do xy = 2 và x ≤≤ y nên x = 1, y = 2, do đó y = 3.
Vậy...
b, xyz = 9 + x + y + z
<=> 1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz
giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ 1, ta có:
1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz ≤ 1/z^2 + 1/z^2 + 1/z^2 + 9/z^2 = 12/z^2
=> z^2 ≤ 12 => z = 1, 2 , 3
*z = 1:
1=1/y + 1/x + 1/xy ≤ 1/y + 1/y + 1/y = 3/y
=> y ≤ 3 => y = 1,2,3
y =1 => x= 11 + x (vô nghiệm)
y = 2 => 2x = 12 + x => x = 12 trường hợp nầy nghiệm (12,2,1)
y = 3 => 3x = 13 + x ( không có ngiệm x nguyên)
* z = 2
1 = 1/2y + 1/2x + 1/xy + 1/2xy = 1/2y + 1/2x + 3/2xy ≤ 1/2(1/y + 1/y + 3/y) = .5/2y
=> y ≤ 5/2 => y = 2
=> 4x = 13 + x (không có nghiệm x nguyên)
* z =3:
1 = 1/3y + 1/3x + 1/xy + 3/xy = 1/3y + 1/3x + 4/xy ≤ 1/3(1/y +1/y + 12/y) = 14/3y
=> y ≤ 14/3 => y = 3, 4
y = 3 => 9x = 15 + x (không có nghiệm x nguyên)
y = 4 => 12x = 16 + x (không có nghiệm x nguyên)
Vậy pt có nghiệm là (12,2,1) và các hoán vị của nó.
chúc bạn hok tốt
24 tháng 7 2020
a) Vì vai trò của x,y,z như nhau nên có thể giả sử \(x\ge y\ge z\)
Khi đó : \(xyz=4\left(x+y+z\right)\le12x\Rightarrow yz\le12\)
=> \(z^2\le12\Rightarrow z^2\in\left\{1;4;9\right\}\Rightarrow z\in\left\{1;2;3\right\}\)
+) Trường hợp 1 :
z = 1 thì xy = 4(x + y + 1) <=> (x - 4)(y - 4) = 20
Nên x - 4 và y - 4 là ước của 20 với \(x-4\ge y-4\ge-3\)(do \(x\ge y\ge z=1\))
| x - 4 | 20 | 10 | 5 | 4 | 2 | 1 |
| y - 4 | 1 | 2 | 4 | 5 | 10 | 20 |
| x | 24 | 14 | 9 | 8 | 6 | 5 |
| y | 5 | 6 | 8 | 9 | 14 | 24 |
Vậy ta được cặp (x;y) là \(\left(24;5\right);\left(14;6\right);\left(9;8\right)\)
Xét tiếp trường hợp z = 2,z = 3 nữa nhé
b) Tương tự
NT
0
LA
1
AT
30 tháng 6 2018
Áp dụng bđt Cauchy có:
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\);
\(y^4+z^4\ge2\sqrt{y^4z^4}=2y^2z^2\);
\(z^4+x^4\ge2\sqrt{z^4x^4}=2z^2x^2\);
Cộng 2 vế của 3 bđt trên ta có:
\(2\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
Lại sử dụng Cauchy có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2+y^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^2\cdot y^2z^2}=2xy^2z\left(1\right)\\y^2z^2+z^2x^2\ge2\sqrt{y^2z^2\cdot z^2x^2}=2xyz^2\left(2\right)\\z^2x^2+x^2y^2\ge2\sqrt{z^2x^2\cdot x^2y^2}=2x^2yz\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế bđt (1), (2), (3) sau đó rút gọn ta đc:
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy^2z+xyz^2+x^2yz=xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z = 1
HT
1
TN
20 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)
Tương tự rồi cộng theo vế rồi rút gọn:
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
Tiếp tục use AM-GM:
\(x^2y^2+y^2z^2=y^2\left(x^2+z^2\right)\ge2xy^2z\)
Tương tự rồi cộng theo vế rồi rút gọn:
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow VT=x^4+y^4+z^4\ge3xyz=VP\left(vi`...x+y+z=3\right)\)
Khi \(x=y=z=1\)
16 tháng 6 2020
\(P\le\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{6x^2y^2z^2}\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{6x^2y^2z^2}=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=1\)
16 tháng 6 2020
mình nhầm :) làm lại nhé
\(P\le\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\frac{\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}{6xyz}\le\frac{xy+yz+zx}{2xyz}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}=\frac{3}{2}\)
L
0
Vì x,y,z là cái số dương nên x,y,z >0
mà x+y+z=3 (=) x=1,y=1,z=1 ( vì x,y,z >0)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4-3xyz=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right)-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2-3xy\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-z=0\\y-z-0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=z\\y=z\end{cases}\Rightarrow}x=y=z=1}\)