Cho đtròn (O;R) và AB là đường kính cố định của (O). Đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. MN là đường kính thay đổi của (O) sao cho MN không vuông góc với AB (M khác A,B). Các đường thẳng AM, AN cắt d tương ứng tại C và D. Gọi I là trung điểm CD và H là giao điểm AI và MN. Khi MN thay đổi chứng minh rằng:
a) AM . AC không đổi
b) Tứ giác CMND nội tiếp
c) Điểm H luôn luôn thuộc 1 đường tròn cố định
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a:
Đặt OA=R
Gọi I là tâm của đường tròn đường kính OA
=>IO=IA=r
OI+IA=OA
=>OI=OA-IA
=>OI=R-r
=>(O;OA) và (I;IA) là đường tròn tiếp xúc nhau tại A
b: Xét (I) có
ΔOCA nội tiếp
OA là đường kính
Do đó: ΔOCA vuông tại C
=>OC\(\perp\)CA tại C
=>OC\(\perp\)AD tại C
ΔOAD cân tại O
mà OC là đường cao
nên C là trung điểm của AD
=>CA=CD
a: Vì góc AKB=góc AHB=90 độ
=>AKHB nội tiếp
b: góc FBC=góc HAC=góc EBC
=>BH là phân giác của góc EBI
Xét (O) có
CA,CM là tiếp tuyến
Do đó: OC là phân giác của \(\widehat{MOA}\)
=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
Do đó: OD là phân giác của góc MOB
=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)
\(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\left(\widehat{MOD}+\widehat{MOC}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{DOC}=180^0\)
=>\(\widehat{DOC}=90^0\)
=>ΔDOC vuông tại O
Gọi N là trung điểm của CD
ΔOCD vuông tại O
=>ΔOCD nội tiếp đường tròn đường kính CD
mà N là trung điểm của CD
nên ΔOCD nội tiếp (N)
Xét hình thang ACDB có
O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD
=>ON là đường trung bình của hình thang ACDB
=>ON//AC//BD
=>ON\(\perp\)AB tại O
Xét (N) có
NO là bán kính
AB\(\perp\)NO tại O
Do đó:AB là tiếp tuyến của (N)
=>Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB
4:
a: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
b: XétΔKBD và ΔKAB có
góc KBD=góc KAB
góc K chung
=>ΔKBD đồng dạng vớiΔKAB
a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó; ΔACB vuông tại C
=>AC\(\perp\)CB tại C
=>BC\(\perp\)AE tại C
Xét ΔBAE vuông tại B có BC làđường cao
nên \(BC^2=AC\cdot CE\)
b: Xét ΔABC vuông tại C có
\(sinCAB=\dfrac{CB}{AB}\)
=>\(\dfrac{CB}{10}=sin30=\dfrac{1}{2}\)
=>CB=5(cm)
Xét ΔEBA vuông tại B có BC là đường cao
nên \(\dfrac{1}{CB^2}=\dfrac{1}{BA^2}+\dfrac{1}{BE^2}\)
=>\(\dfrac{1}{BE^2}+\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{1}{5^2}\)
=>\(\dfrac{1}{BE^2}=\dfrac{1}{25}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{3}{100}\)
=>\(BE^2=\dfrac{100}{3}\)
=>\(BE=\dfrac{10}{\sqrt{3}}\left(cm\right)\)
1: ΔABC vuông tại A
=>A,B,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
=>O là trung điểm của BC
ΔOAC cân tại O
mà OD là đường trung tuyến
nên OD vuông góc AC
Xét tứ giác AHOD có góc AHO+góc ADO=180 độ
nên AHOD nội tiếp đường tròn đường kính AO
2: I nằm giữa O và A
=>OI+IA=OA
=>OI=OA-IA=R-r
=>(I) tiếp xúc (O) tại A
3: Xét (I) có
ΔAEO nội tiếp
AO là đường kính
Do đó: ΔAEO vuông tại E
Xét tứ giác AEOD có
góc AEO=góc ADO=góc EAD=90 độ
=>AEOD là hình chữ nhật
=>AO cắt ED tại trung điểm của mỗi đường
=>E,I,D thẳng hàng