Có tồn tại hay không số nguyên dương \(n\) thỏa mãn điều kiện \(4^n+210\) là tích của không ít hơn hai số nguyên dương liên tiếp?
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán giúp đỡ em với ạ!
Em cám ơn nhiều ạ!
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1}=m\in Z^+\Rightarrow a^2-2mb^2a.+mb^3-m=0\)
\(\Rightarrow\Delta=4m^2b^4-4mb^3+4m\) là SCP (1)
Ta dễ dàng chứng minh được:
\(4m^2b^4-4mb^3+4m>\left(2mb^2-b-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4m\left(b^2+1\right)>\left(b+1\right)^2\)
Đúng do: \(2m.2\left(b^2+1\right)\ge2m\left(b+1\right)^2>\left(b+1\right)^2\)
Tương tự, ta cũng có: \(4m^2b^4-4mb^3+4m< \left(2mb^2-b+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2+4m\left(b^2-1\right)>0\) (luôn đúng với b>1;m>0)
\(\Rightarrow\left(2mb^2-b-1\right)^2< 4m^2b^4-4mb^3+4m< \left(2mb^2-b+1\right)^2\)
\(\Rightarrow4m^2b^4-4mb^3+4m=\left(2mb^2-b\right)^2\)
\(\Rightarrow b^2=4m\)
\(\Rightarrow b\) chẵn \(\Rightarrow b=2k\Rightarrow m=k^2\)
Thế vào (1) \(\Rightarrow a^2-8k^4a+8k^5-k^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-k\right)\left(a-8k^4+k\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=k\\a=8k^4-k\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của pt là: \(\left(a;b\right)=\left(k;2k\right);\left(8k^4-k;2k\right)\) với k nguyên dương
Mải làm quên mất, cứ nghĩ là bài yêu cầu tìm nghiệm nguyên của pt
Nếu chỉ cần chứng minh A nguyên dương thì ko cần 3 dòng cuối nữa, đến đoạn \(m=k^2\) là số chính phương là xong rồi
Bài toán này dựa trên bài toán mà bạn đã đăng hôm trước: nếu \(m^2+n^2\) chia hết cho 7 thì cả m và n đều chia hết cho 7.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}5a+2b=m^2\\2a+5b=n^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow7\left(a+b\right)=m^2+n^2\)
\(\Rightarrow m^2+n^2⋮7\)
\(\Rightarrow m;n\) đều chia hết cho 7
\(\Rightarrow m^2;n^2\) đều chia hết cho 49
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a+2b⋮49\\2a+5b⋮49\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(a-b\right)⋮49\\7\left(a+b\right)⋮49\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b⋮7\\a+b⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a⋮7\\2b⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a⋮7\\b⋮7\end{matrix}\right.\) (đpcm)
Cám ơn thầy ạ !
Đây là 1 loạt những bài toán về chuyên đề đồng dư thức , thầy đã nhiệt tình giúp đỡ em, em cám ơn ạ
Với \(y=1\Rightarrow\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\in Z\Rightarrow\dfrac{1}{x+1}\in Z\Rightarrow\) ko tồn tại x nguyên dương thỏa mãn (loại)
Với \(y>1\):
Đặt \(\dfrac{x^2+x+1}{xy+1}=k\Rightarrow x^2-\left(ky-1\right)x+1-k=0\)
\(\Delta=\left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)\) là số chính phương
Ta có: \(k\ge1\Rightarrow\left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)\le\left(ky-1\right)^2\)
Đồng thời \(y>1\Rightarrow y\ge2\Rightarrow2ky\ge4k>3\)
\(\Rightarrow\left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)=\left(ky-2\right)^2+\left(2ky-3\right)+4\left(k-1\right)>\left(ky-2\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(ky-2\right)^2< \left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)\le\left(ky-1\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)=\left(ky-1\right)^2\)
\(\Rightarrow k=1\Rightarrow\dfrac{x^2+x+1}{xy+1}=1\)
\(\Rightarrow x^2+x=xy\Rightarrow y=x+1\)
\(\Rightarrow y-x=1\)