chứng minh: (a2 + b2)2 \(\ge\)ab (a+b)2
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử \(c\le1\).
Khi đó: \(ab+bc+ca-abc=ab\left(1-c\right)+c\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge abc\left(1\right)\)
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn với \(a=2,b=c=0\).
Theo giả thiết:
\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\)
\(\Leftrightarrow ab\left(c+2\right)\le4-c^2\)
\(\Leftrightarrow ab\le2-c\)
Trong ba số \(\left(a-1\right),\left(b-1\right),\left(c-1\right)\) luôn có hai số cùng dấu.
Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\).
\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\ge a+b-1\)
\(\Leftrightarrow abc\ge ca+bc-c\)
\(\Rightarrow abc+2\ge ca+bc+2-c\ge ab+bc+ca\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow\) Bất đẳng thức được chứng minh.
=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0
=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)
Xét hiệu a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=1/2.2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
=1/2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)
=1/2[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]
=1/2.[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]
vì (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0
nên 1/2.[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]>=0
hay a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc >=0<=> a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc
Biến đổi vế trái ta có:
VT = (a + b)( a 2 – ab + b 2 ) + (a – b)( a 2 + ab + b 2 )
= a 3 + b 3 + a 3 – b 3 = 2 a 3 = VP
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Với mọi số thực ta luôn có:
`(a-b)^2>=0`
`<=>a^2-2ab+b^2>=0`
`<=>a^2+b^2>=2ab`
`<=>2(a^2+b^2)>=(a+b)^2=1`
`<=>a^2+b^2>=1/2(đpcm)`
Dấu "=' `<=>a=b=1/2`
ta có:
(a²+b²)(1²+1²)≥(a.1+b.1)²
⇔ 2(a²+b²) ≥ (a+b)²
⇔ 2(a²+b²)≥ 1 (vì a+b=1)
⇔ a² +b² ≥ 1/2 (đpcm)
dấu "=) xảy ra khi a = b = 1/2
VP `=(a+b)(a^2-ab+b^2)`
`=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3`
`=a^3+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)+b^3`
`=a^3+b^3`
.
VP `=(a-b)(a^2+ab+b^2)`
`=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3`
`=a^3+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)-b^3`
`=a^3-b^3`
2:
a: =>a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2<=0
=>-(a^2-2ab+b^2)<=0
=>(a-b)^2>=0(luôn đúng)
b; =>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3a^2-3b^2-3c^2<=0
=>-(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)<=0
=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)
Lời giải:
$a^2+b^2=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})+(a+b-\frac{1}{2})$
$=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+(a+b-\frac{1}{2})$
$\geq a+b-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Vậy $a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$
Giá trị này đạt tại $a-\frac{1}{2}=b-\frac{1}{2}=0$
$\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$
+\(ab< 0\)thì \(VT\ge0>VP\), bđt đúng
+Xét \(ab\ge0\)
\(\left(a^2+b^2\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge2ab.\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=ab\left(a+b\right)^2\)
(a2+b2)2\(\ge\)ab(a+b)2
<=>a4+b4+2a2b2\(\ge\)a3b+2a2b2+ab3
<=>a4-a3b+b4-ab3\(\ge\)0
<=>a3.(a-b)-b3.(a-b)\(\ge\)0
<=>(a-b)(a3-b3)\(\ge\)0
<=>(a-b)2.(a2+b2+ab)\(\ge\)(luôn đúng với mọi a,b)
=>dpcm