Cho \(a,b,c\ge0\)
CM: \(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 6 2019
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y}=a\\\frac{y}{z}=b\\\frac{z}{x}=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow abc=1\)
\(P=\frac{2b}{c}+\frac{2c}{a}+\frac{2a}{b}-a-b-c-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
\(P=2ab^2+2bc^2+2a^2c-a-b-c-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
\(ab^2+a\ge2ab\Rightarrow ab^2\ge2ab-a\) ; \(ab^2+\frac{1}{a}\ge2b\Rightarrow ab^2\ge2b-\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow2ab^2\ge2ab+2b-a-\frac{1}{a}\)
Tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow P\ge2\left(ab+ac+bc\right)+2\left(a+b+c\right)-2\left(a+b+c\right)-2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(ab+ac+bc\right)}{abc}-2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)
4 tháng 6 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{9}=1.\)(đpcm)
4 tháng 6 2019
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
( áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\))
TA
2
19 tháng 8 2016
Áp dụng bđt \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}+\frac{p^2}{c}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{a+b+c}\) (bạn tự chứng minh)
Được : \(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge1\) (đpcm)
19 tháng 8 2016
Ta có : \(\begin{cases}2yz\le y^2+z^2\\2zx\le z^2+x^2\\2xy\le x^2+y^2\end{cases}\)
\(VT\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
6 tháng 3 2019
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\) \(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=-\left(yz+zx\right)\\yz=-\left(xy+zx\right)\\zx=-\left(xy+yz\right)\end{matrix}\right.\)
Thay vào ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}=\frac{1}{x^2+yz+yz}=\frac{1}{x^2-xy+yz-zx}=\frac{1}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)}\)
CMTT:
\(PT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{1}{\left(x-y\right)\left(z-y\right)}+\frac{1}{\left(z-y\right)\left(z-x\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(z-y\right)+\left(x-z\right)-\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(z-y\right)}=0\left(đpcm\right)\)
LH
22 tháng 4 2019
\(P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\)
\(P=\frac{\left[\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+2yz}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{y^2+2xz}}\right)^2+\left(\frac{z}{\sqrt{z^2+2xy}}\right)^2\right]\left[\sqrt{x^2+2yz}^2+\sqrt{y^2+2xz}^2+\sqrt{z^2+2xy}^2\right]}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)(Bunyakovski)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{x}{x^2+2yz}=\frac{y}{y^2+2xz}=\frac{z}{z^2+2xy}\Leftrightarrow x=y=z\)
Vậy GTNN P=1 <=> x=y=z
LH
22 tháng 4 2019
Ngay ở trên hai cái [...] [...] nhân với nhau ấy, tại nó dài quá
LH
1
16 tháng 4 2019
Bạn tự c/m BĐT : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
Dấu " = " xảy ra ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2yz+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\)\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{1}=9\)
Bạn tự giải dấu bằng nhé.
23 tháng 8 2019
Vs x,y,z>0 .Áp dụng bđt Svac-xơ có:
\(P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}\)
<=> P\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)
<=> P\(\ge1\)
Dấu "=" xảy ra<=> x=y=z=1
Vậy minP=1 <=> x=y=z=1
23 tháng 8 2019
Solution:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2zx+z^2+2xy}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)