Tìm GTNN của A = \(x^4+y^4+z^4\) biết rằng xy+yz+zx=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BD
1
25 tháng 12 2015
Ta cm được: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(A=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Min A = 1/3 khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
TT
0
B
0
HK
4
10 tháng 9 2018
Ta có: \(P=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{2006^2}{3}\)
HN
3
VT
16 tháng 8 2018
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a, ta có
\(x^4+y^4+z^4\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)
Mà \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx=1\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge\dfrac{1}{3}\)
dấu = xảy ra <=> \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
^.^
16 tháng 8 2018
cách khác nè, mình k cố ý tranh giành câu trả lời vs nhau đâu 
\(x^4+y^4\ge2x^2y^2\) tương tự vs cái còn lại
\(\sum x^4\ge\sum x^2y^2\)
\(x^2y^2+\dfrac{1}{9}\ge\dfrac{2}{3}xy\) =>\(\sum x^2y^2\ge\dfrac{1}{3}\)
=>\(\sum x^4\ge\dfrac{1}{3}\)
\(A=x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}..\)
min A = 1/3 . khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski,ta có:
\(\left(xy+yz+zx\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow1\le\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski một lần nữa,ta có:
\(\left(x^4+y^4+z^4\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\le3\left(x^4+y^4+z^4\right)\left(2\right)\)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow A\ge\frac{1}{3}\) dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy......