Proving that if \(xy+yz+zx\ge\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\),then \(x+y+z\ge\sqrt{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 4 2021
Đặt \(x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b}\) Thì bài toán thành chứng minh
\(3\left(\sqrt{\frac{a+b}{2c}}+\sqrt{\frac{b+c}{2a}}+\sqrt{\frac{c+a}{2b}}\right)^2\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Áp dụng holder ta có:
\(\left(\sqrt{\frac{a+b}{2c}}+\sqrt{\frac{b+c}{2a}}+\sqrt{\frac{c+a}{2b}}\right)^2\left(2c\left(a+b\right)^2+2a\left(b+c\right)^2+2b\left(c+a\right)^2\right)\)
\(\ge\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^3=8\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow VT\ge3.\frac{8\left(a+b+c\right)^3}{2a\left(b+c\right)^2+2b\left(c+a\right)^2+2c\left(a+b\right)^2}\)
Từ đây ta cần chứng minh:
\(3.\frac{8\left(a+b+c\right)^3}{2a\left(b+c\right)^2+2b\left(c+a\right)^2+2c\left(a+b\right)^2}\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\Leftrightarrow2a\left(b+c\right)^2+2b\left(c+a\right)^2+2c\left(a+b\right)^2\le3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)( đúng )
Vậy có ĐPCM
TN
26 tháng 2 2018
\(VT=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\)
\(\ge\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{x+z+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)
\(=\frac{3x^2}{xy+xz+x}+\frac{3y^2}{xy+yz+y}+\frac{3z^2}{xz+yz+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP\)
Dấu "=" <=> x=y=z=1
2 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm, ta có: \(0< \sqrt[3]{yz.1}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{3x}{y+z+1}\)
Làm tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi cộng theo vế thì có:
\(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(=3\left(\frac{x^2}{xy+xz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{zx+yz+z}\right)\ge^{Schwartz}3.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=3.\frac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge9.\frac{xy+yz+zx}{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=9.\frac{xy+yz+zx}{3+2.3}=xy+yz+zx\) => ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.
28 tháng 12 2015
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2}=\frac{\sqrt{xy}}{2}+\frac{\sqrt{yz}}{2}+\frac{\sqrt{zx}}{2}\)
(a2 +b2 +c2 >/ ab +bc +ca ) = mình không biết CM
Ai giúp mấy
Dùng phương pháp biến đổi tương đương, ta dễ dàng chứng minh được:
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\) với mọi số thực \(x,y,z\)
Ta có:
\(xy+yz+xz\ge\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
nên suy ra được \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\) \(\left(i\right)\)
Giả sử tồn tại số thực \(t\) nào đó sao cho thỏa mãn \(t^2=x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow\) \(t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
Khi đó, bđt \(\left(i\right)\) được biểu diễn lại dưới dạng ẩn số \(t\) như sau:
\(\left(i\right)\) \(\Rightarrow\) \(t\ge\frac{1}{\sqrt{t}}\) \(\Leftrightarrow\) \(t\sqrt{t}\ge1\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{t^3}\ge1\) \(\Leftrightarrow\) \(t^3\ge1\) \(\Leftrightarrow\) \(t\ge1\) \(\left(ii\right)\)
\(------------\)
Bên cạnh đó, ta lại có:
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge x^2+y^2+z^2+\frac{2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
nên \(\left(x+y+z\right)^2\ge t^2+\frac{2}{t}\)
Giả sử tồn tại một số \(y\)nào đó thỏa mãn \(t^2+\frac{2}{t}\ge y\) (với \(y\in R\) )
\(\Rightarrow\) \(\left(x+y+z\right)^2\ge y\)
Mặt khác, từ \(\left(ii\right)\) ta suy ra được \(\hept{\begin{cases}t^2\ge1\\t-1\ge0\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(\hept{\begin{cases}t^2\ge1\\2t-2\ge0\end{cases}}\)
Lúc đó, ta thiết lập được một bđt mới sau:
\(t^2+2t+\frac{2}{t}-2\ge y\)
Mà \(t^2\ge1\) và \(2t+\frac{2}{t}\ge2\sqrt{2t.\frac{2}{t}}=4\) (bđt Cauchy loại hai cho bộ số gồm hai số không âm)
\(\Rightarrow\) \(t^2+2t+\frac{2}{t}-2\ge1+4-2=3\)
Ta dễ dàng suy ra được \(y=3\)
Do đó, \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\) hay nói cách khác, \(x+y+z\ge\sqrt{3}\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\left(i\right)\Rightarrow\) \(t^2\ge\frac{1}{t}\) \(\Leftrightarrow\) \(t^3\ge1\) \(\Leftrightarrow\) \(t\ge1\) \(\left(ii\right)\)