Question

[Bùi Hải Ngọc]

Cho \(x,y>0\) và \(x+y\le1\)

Tìm min P= \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\)

Ai giúp tôi với!!! Tôi đag cần gấp >< Please!

Answer 1

[Mr Lazy]

Sủ dụng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b};\text{ }ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\)

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+4xy+\frac{1}{4xy}+\frac{5}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{5}{4.\frac{1}{4}}\)

\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+5\)

\(\ge4+2+5=11\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Answer 2

[Phước Nguyễn]

\(-------\)

Chứng minh bổ đề:  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)  \(\left(i\right)\) (với  \(a,b>0\)  )

Bđt  \(\left(i\right)\)  tương đương với bđt sau:

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)  \(\left(ii\right)\)

Ta cần chứng minh bđt  \(\left(ii\right)\)  luôn đúng với mọi \(a,b>0\)

Thật vậy,  ta áp dụng bđt  \(Cauchy\)  loại hai cho từng bộ số gồm hai số không âm đề giải quyết bài toán trơn tru như sau:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\) \(\left(1\right)\)

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)  \(\left(2\right)\)

Nhân từng vế  \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\) , ta suy ra điều phải chứng minh.

Vì bđt  \(\left(ii\right)\)  được chứng minh nên kéo theo bđt  \(\left(i\right)\)  luôn đúng với mọi  \(a,b>0\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b\)

\(-------\)

Quay trở về bài toán, ta có:

\(1\ge x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow\)  \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\le\frac{1}{2}\)

nên suy ra được  \(xy\le\frac{1}{4}\)

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)

Áp dụng bđt  \(\left(i\right)\) cho biểu thức đầu tiên, bđt Cauchy cho biểu thức thứ hai và với chú ý rằng  \(xy\le\frac{1}{4}\) , ta được:

\(P\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}+\frac{5}{4.\frac{1}{4}}=4+2+5=11\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  khi và chỉ khi  \(x=y=\frac{1}{2}\)  (bạn cần làm rõ khúc này nha)

Vậy,  \(P_{min}=11\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=\frac{1}{2}\)