Cho \(x,y>0\), \(\frac{x}{2}=\frac{y}{4}\)và \(x^4\times y^4=16\)
Tìm y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 5 2018
Ta có: \(P=\frac{4}{x}+\frac{9}{y}+\frac{16}{z}=\frac{2^2}{x}+\frac{3^2}{y}+\frac{4^2}{z}\)
Áp dụng bất đẳng thức Swarchz cho 3 số:
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(2+3+4\right)^2}{x+y+z}=\frac{81}{x+y+z}\)
Thay \(x+y+z=6\Rightarrow P\ge\frac{81}{6}=\frac{27}{2}\)
\(\Rightarrow Min_P=\frac{27}{2}.\)Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\).
NA
31 tháng 5 2018
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{4}{3};y=2;z=\frac{8}{3}\)
2 tháng 6 2015
Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\). Vì x; y > 0 => \(\frac{x}{y}>0;\frac{y}{x}>0\). Áp dung BDT Cô - si có:
\(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2.\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)
Có: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}=t^2-2\)
\(\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}=\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)^2-2.\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{x^2}=\left(t^2-2\right)^2-2=t^4-4t^2+4-2=t^4-4t^2+2\)
Vậy \(A=t^4-4t^2+2-\left(t^2-2\right)+t=t^4-5t^2+t+4\)
=> \(A=\left(t^4-8t^2+16\right)+3t^2+t-12=\left(t^2-4\right)^2+3t^2+t-12=\left(t^2-4\right)^2+3\left(t^2-4\right)+t\ge2\)với mọi \(t\ge2\)
Vì \(t\ge2\) => \(t^2\ge4\Rightarrow t^2-4\ge0\)
Vậy Min A = 2 khi t = 2 <=> \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2\) <=> x = y = 1
16 tháng 3 2021
\(Q=\frac{x^3}{4\left(y+2\right)}+\frac{y^3}{4\left(x+2\right)}=\frac{x^3\left(x+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\frac{y^3\left(y+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\)
\(=\frac{x^4+y^4+2x^3+2y^3}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(xy+2x+2y+4\right)}\)
\(=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(2x+2y+8\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
\(Q=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\ge\frac{2x^2y^2+2xy\left(x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{2xy\left(xy+x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{8\left(x+y+4\right)}{8\left(x+y+4\right)}=1\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x=y\\xy=4\end{cases}}\Rightarrow x=y=2\)
Vậy GTNN của Q là 1 <=> x = y = 2
KN
17 tháng 3 2021
Or
\(Q-1=\frac{\left(x^2-y^2\right)^2+2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-8\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\ge0\)*đúng do \(x^2+y^2\ge2xy=8\)*
Do đó \(Q\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2
N
16 tháng 8 2020
Xét: \(x^4+y^4-xy\left(x^2+y^2\right)=\left(x^2+y^2+xy\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^4+y^4\ge xy\left(x^2+y^2\right)\)(*)
Tương tự với (*) ta có: \(\hept{\begin{cases}y^4+z^4\ge yz\left(y^2+z^2\right)\\z^4+x^4\ge zx\left(z^2+x^2\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{x^4+y^4+z}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{xy\left(x^2+y^2\right)+z.xyz}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{xy\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}\)
Ta có:\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\) và \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{x^4+y^4+z}\le\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}\le\frac{1}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
9 tháng 12 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A\le\frac{x}{2.\sqrt{x^4.y^2}}+\frac{y}{2.\sqrt{x^2y^4}}=\frac{x}{2.x^2y}+\frac{y}{2.x.y^2}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{2}{2xy}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=y^4\\x^4=y^2\end{cases}\Leftrightarrow x^2.x^4=y^2.y^4\Leftrightarrow x^6=y^6\Leftrightarrow}x=y=1\left(x,y>0\right)\)
Vậy \(A_{max}=1\Leftrightarrow x=y=1\)
T
10 tháng 12 2018
Không biết bài này cô si ngược được không?
Dự đoán xảy ra cực trị tại x = y = 1
Cho x = 1 hoặc y = 1
Khi đó: \(A=\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+x^2}\)
Mà \(\frac{1}{1+y^2}=1-\frac{y^2}{1+y^2}\ge1-\frac{y^2}{2y}=1-\frac{y}{2}\)
Tương tự: \(\frac{1}{1+x^2}\ge1-\frac{x}{2}\)
Cộng theo vế hai BĐT: \(A\ge\left(1+1\right)-\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)\)\(\ge2-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=1\)
TN
15 tháng 3 2017
Đặt \(\hept{\begin{cases}2^x=a\\2^y=b\end{cases}}\) thì ta có: \(A=\frac{1+ab}{1+a^2}+\frac{1+ab}{1+b^2}\)
Ta cần chứng minh \(2\) là GTNN của A (khi x=1,02171...;y=1,02171... và x=y=1,04019...)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\right)\ge2\)
Và điều này tương đương với \(\frac{\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\ge0\)
Cái này đúng nếu \(ab\ge1\)
Đặt:
\(\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=k\)
\(\Rightarrow\frac{x}{2}=k\Rightarrow x=k.2\)
\(\Rightarrow\frac{y}{4}=k\Rightarrow y=k.4\)
Thế vào \(x^4.y^4=16\), ta có;
\(\left(k.2\right).\left(k.4\right)=16\)
\(k^2.8=16\)
\(k^2=2\)
\(k=...\)
Đề sai ko
Ta có x,y > 0
x4Xy4=16
=>xXy=2
Mà x/2=y/4
=>Ta có: x=1;y=2