Question

[thanhthanh1977 vu]

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:

a. CE=CF
b. AC là tia phân giác của góc BAE

c. CH^2= AE.CF

Answer 1

[Huy Hoang]

a. Ta có: \(OC\perp d\)(tính chất tiếp tuyến)

\(AE\perp d\) (gt)

\(BF\perp d\) (gt)

Suy ra : OC // AE // BF

Mà OA = OB (= R)

Suy ra: CE = CF ( tính chất đường thẳng song song cách đều )

b. Ta có: AE // OC

\(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{EAC}\)( hai góc so le trong ) ( 1 )

Ta có : \(OA=OC\left(=R\right)\)

\(\Rightarrow\Delta OAC\)cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\)( 2 )

Từ (1)(2) suy ra : \(\widehat{EAC}=\widehat{OAC}\)

Vậy AC là tia phân giác của góc OAE hay AC là tia phân giác của góc BAE

c. Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên góc (ACB) = 90^o

Tam giác ABC vuông tại C có \(CH\perp AB\)

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

CH² = HA . HB     (3)

Xét hai tam giác ACH và ACE, ta có :

\(\widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^o\)

CH = CE (tính chất đường phân giác)

AC chung

Suy ra : \(\Delta ACH=\Delta ACE\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: AH = AE     (4)

Xét hai tam giác BCH và BCF, ta có :

\(\widehat{AHC}=\widehat{BFC}=90^o\)

CH = CF (= CE)

BC chung

Suy ra:  \(\Delta BCH=\Delta BCF\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = BF     (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: CH² = AE . BF