Cho x,y thỏa mãn \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\)CMR \(x^2+y^2=1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 2 2021
\(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\Rightarrow ab+bc+ca=2020\)
BĐT trở thành:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020.2021}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca}{abc}+a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020.2021}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020^2}{abc}\)
Ta có: \(\sqrt{2020+a^2}=\sqrt{ab+bc+ca+a^2}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(2a+b+c\right)\)
Tương tự:...
\(\Rightarrow\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le3\left(a+b+c\right)\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(3\left(a+b+c\right)\le\dfrac{2020^2}{abc}=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\) (hiển nhiên đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)
TH
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 9 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\leq \left(\frac{x+1+x^2-x+1}{2}\right)^2=\frac{(x^2+2)^2}{4}$
$\Rightarrow \sqrt{x^3+1}\leq \frac{x^2+2}{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq \frac{2}{x^2+2}$. Tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế:
$\sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2\sum \frac{1}{x^2+2}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{x^2+2}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+6}=\frac{9}{12+6}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2.\frac{1}{2}=1$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 8 2021
Giả thiết thiếu rồi em, chỗ \(\dfrac{1}{x+1}+...\) thiếu đoạn sau nữa
NC
2
22 tháng 8 2020
gt <=> \(x\sqrt{1-y^2}=1-y\sqrt{1-x^2}\)
<=> \(x^2\left(1-y^2\right)=1+y^2\left(1-x^2\right)-2y\sqrt{1-x^2}\)
<=> \(x^2-x^2y^2=1+y^2-x^2y^2-2y\sqrt{1-x^2}\)
<=> \(2y\sqrt{1-x^2}=y^2-x^2+1\)
<=> \(4y^2\left(1-x^2\right)=\left(y^2-x^2+1\right)^2\)
<=> \(4y^2-4x^2y^2=x^4+y^4+1-2x^2y^2-2x^2+2y^2\)
<=> \(x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2-2y^2+1=0\)
<=> \(\left(x^4+y^4+2x^2y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1=0\)
<=> \(\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(x^2+y^2\right)+1=0\)
<=> \(\left(x^2+y^2-1\right)^2=0\)
<=> \(x^2+y^2-1=0\)
<=> \(x^2+y^2=1\)
VẬY TA CÓ ĐPCM.
22 tháng 8 2020
Bài của Hermit thiếu điều kiện xác định + bài làm dài
\(-1\le x;y\le1\) theo bài ra ta có:
\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\left|x\right|\sqrt{1-y^2}+\left|y\right|\sqrt{1-y^2}\)
\(=\left|x\right|\sqrt{1-y^2}+\left|y\right|\sqrt{1-x^2}\le\frac{x^2+1-y^2}{2}+\frac{y^2+1-x^2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left|x\right|=\sqrt{1-y^2}\\\left|y\right|=\sqrt{1-x^2}\end{cases}\Leftrightarrow x^2=1-y^2\Leftrightarrow x^2+y^2=1\left(đpcm\right)}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 8 2021
Đặt \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}};\dfrac{1}{\sqrt{y}};\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}=1\)
Ta cần chứng minh: \(ab+bc+ca\le\dfrac{3}{2}\)
Thật vậy, ta có:
\(1=\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
19 tháng 4 2023
\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}>=\sqrt{\dfrac{3}{xy}}\)
\(\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}>=\sqrt{\dfrac{3}{yz}}\)
\(\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}>=\sqrt{\dfrac{3}{xz}}\)
=>\(VT>=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)=3\sqrt{3}\)
Áp dụng bđt \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\)
Dấu bằng xảy ra khi \(ad=bc\)
\(x\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y\le\left|x\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y\right|\le\sqrt{x^2+1-x^2}.\sqrt{1-y^2+y^2}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(xy=\sqrt{1-x^2}.\sqrt{1-y^2}\Leftrightarrow x^2y^2=x^2y^2+1-\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=1\)