Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng BC2 = BH.BD + CH.CE
giải chi tiết giúp mình với, mình cảm ơn nhiềuu
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gợi ý: Gọi , chứng minh được AK ^ BC.
Áp dụng cách làm tương tự 4A suy ra ĐPCM
a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có
góc A chung
=>ΔADB đồng dạng với ΔAEC
b: Xét ΔBKH vuông tại K và ΔBDC vuông tại D có
góc KBH chung
=>ΔBKH đồng dạng với ΔBDC
=>BK/BD=BH/BC
=>BK*BC=BD*BH
1:
a: góc AEH+góc ADH=180 độ
=>AEHD nội tiếp
b: góc BEC=góc BDC=90 độ
=>BEDC nội tiếp
c: BEDC nội tiếp
=>góc EBD=góc ECD
d: Xét ΔABC có
BD,CE là đường cao
BD cắt CE tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc BC
Kẻ HF vuông góc với BC, F thuộc BC
Ta chứng minh được tg BHF đồng dạng với tg BCD
=> BH/BC = BF/BD => BH.BD=BC.BF
tg CHF đồng dạng với tg CBE
=>CH/CB= CF/CE=CB.CF
=>BH.BD+CH.CE=CB.BF=CB.CB=BC2
Kẻ HM | BC
+) Tam giác BHM đồng dạng với tam giác BCD ( có góc BEH = BDC = 90o; góc CBD chung)
=> BM/ BD = BH/ BC => BM. BC = BH. BD (1)
+) Tương tự, tam giác CMH đồng dạng với tam giác CEB ( có góc BCE chung ; góc HMC = CEB = 90o)
=> CH/ CB = CM/ CE =>CM .CB = CH. CE (2)
Cộng từng vế của (1)(2) => BM.BC + CM.CB = BH.BD + CH .CE => (BM + CM).CB = BH.BD + CH.CE
=> BC2 = BH.BD + CH.CE
Vậy...
Kẻ HK vuông góc với BC
Xét tam giác BKH và BDC có: góc CBD chung; góc HKB = BDC (= 90o)
=> tam giác BKH đồng dạng với BDC (g - g)
=> BK/BD = BH/ BC => BH.BD = BK. BC (1)
+) Tương tự, tam giác CKH đồng dạng với tam giác CEB (g - g)
=> CK/ CE = CH/BC => CH . CE = CK.BC (2)
Từ (1)(2) => BH.BD + CH.CE = BK.BC + CK. BC = (BK+ CK). BC = BC.BC = BC2
Xét \(\Delta BHF\)và \(\Delta BCD\)
có \(\widehat{BEH}=\widehat{BDC}=90^0\)và \(\widehat{DBC}\)chung
\(\Rightarrow\Delta BHF~\Delta BCD\left(g-g\right)\)\(\Rightarrow\frac{BF}{BD}=\frac{BH}{BC}\Rightarrow BF.BC=BH.BD\left(1\right)\)
Xét \(\Delta CFH\)và \(\Delta CEB\)
có \(\widehat{CFH}=\widehat{CEB}=90^0\)và \(\widehat{ECB}\)chung
\(\Rightarrow\Delta CFH~\Delta CEB\left(g-g\right)\)\(\Rightarrow\frac{CH}{CB}=\frac{CF}{CE}\Rightarrow CB.CF=CH.CE\left(2\right)\)
Cộng (1) với (2) ta được \(BF.BC+CF.CB=BH.HD+CH.CE\)
\(\Rightarrow\left(BF+CF\right)CB=BH.BD+CH.CE\)hay \(BH.BD+CH.CE=BC^2\left(đpcm\right)\)
Vậy ....
gọi F là giao AH và BC
vì tam giác ABC có 2 đường cao CE và BD cắt nhau tại H
=> H là trực tâm tam giác ABC
=>AH vuông góc với BC hay AF vuông góc với BC
Xét tam giác BHF và tam giác BCD có:
góc HBF chung
góc BCD=góc BFH=90 độ(gt)
=>tam giác BHF đồng dạng với tam giác BCD(g-g)
=>BH/BF = BC/BD
=>BH.BD=BF.BC (1)
Xét tam giác CFH và tam giác CEB có:
góc HCF chung
góc CFH=góc CEB=90 độ(gt)
=>tam giác CFH đồng dạng tam giác CEB(g-g)
=>CH/CF = CB/CE
=>CH.CE=CF.CB (2)
Từ (1),(2) => BH.BD+CH.CE=BF.BC+CF.CB
=BC.(CF+BF)=BC.BC=BC2 (đpcm)