Question

[Nguyễn Ngọc Phương Trinh]

đa thức f(x) chia cho x+1 dư 5, chia cho x²+1 dư x+2. Tìm số dư trong phép chia f(x) cho x³+x²+x+1

Answer 1

[Emma]

có $f\left(x\right)=\left(x+1\right)A\left(x\right)+5$

$f\left(x\right)=\left(x^2+1\right)B\left(x\right)+x+2$

do f(x) chia cho $\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)$là bậc 3 nên số dư là bậc 2. ta có $f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)C\left(x\right)+a{x}^2+bx+c=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)C\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a$

$=\left(x^2+1\right)\left(C\left(x\right).x+C\left(x\right)+a\right)+bx+c-a$

Vậy $bx+c-a=x+2\Rightarrow \text{hept}\{\begin{array}{c}b=1\\ c-a=2\end{array}$

mặt khác ta có $f\left(-1\right)=5\iff a-b+c=5\Rightarrow a+c=6\Rightarrow \text{hept}\{\begin{array}{c}a=2\\ c=4\end{array}$

vậy số dư trong phép chia f(x) cho $x^3+x^2+x+1$là $2x^2+x+4$