Cho \(x,y,z\in R\)và \(x^2+y^2+z^2=1\)Tìm GTLN của \(P=x^3+y^3+z^3-3xyz\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TH
9
17 tháng 1 2017
(Thử sức với phương pháp \(p,q,r\) xem nào!)
Đặt \(p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz\).
Khi đó \(p^2-2q=1\) nên \(q=\frac{p^2-1}{2}\).
Biểu thức cần tìm max là \(S=x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
Viết lại dưới dạng \(S=p\left(1-q\right)=p-\frac{p\left(p^2-1\right)}{2}=-\frac{p^3}{2}+\frac{3p}{2}\)
-----
Nếu có thêm giả thiết \(x,y,z\) không âm thì:
\(2S=-\left(p^3-3p\right)=-\left(p-1\right)^2\left(p+2\right)+2\le2\) và đẳng thức xảy ra tại \(p=1\).
Nếu ko có giả thiết \(x,y,z\) không âm thì xin thưa là đề sai.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 7 2021
Đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=3\)
\(P=3a^2+b^2+3c^2\)
Biểu thức này chỉ có min, không có max
NG
0
TV
0
3T
0
29 tháng 2 2020
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
\(\frac{x}{x^3+y^2+z}=\frac{x\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}{\left(x^3+y^2+z\right)\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}\le\frac{1+x+xz}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{1+x+xz}{9}\)
Tương tự rồi cộng lại ta được:
\(T\le\frac{3+x+y+z+xy+yz+zx}{9}=\frac{6+xy+yz+zx}{9}\le\frac{6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{9}=1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)
NN
3
21 tháng 9 2016
x^3+y^3+z^3-3xyz=1/2(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]
2 cái bằng nhau
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ , tìm GTLN $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học