Chứng minh rằng nếu M là giao điểm của các đường chéo của tứ giác ABCD thì MA+MB+MC+MD nhỏ hơn chu vi nhưng lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
FF
24 tháng 8 2016
2) -Ta có: MA+MB>AB,MB+MC>BC,MC+MD>CD,MD+MA>AD (Bất đẳng thức tam giác).
2.(MA+MB+MC+MD)>AB+BC+CD+AD
MA+MB+MC+MD>AB+BC+CD+AD/2 (1).
-Ta có: MA+MB+MC+MD=(MA+MC)+(MB+MD)=AC+BD
Mà AC<AB+BC, AC<AD (Bất đẳng thức tam giác).
2AC<AB+BC+CD+AD
Tương tự: 2BD<AB+BC+CD+AD
Do đó: 2AC+2BD<2.(AB+BC+CD+AD)
AC+BD<AB+BC+CD+AD
MA+MB+MC+MA<AB+BC+CD+AD (2)
Từ (1) và (2) AB+BC+CD+AD/2<MA+MB+MC+MA<AB+BC+CD+AD
NB
20 tháng 8 2017
Đề là MA + MB + MC + MD nha bạn!
Ta có: chu vi tứ giác = AB + BC + DC + AD
Theo bất đẳng thức tam giác:
MA + MB > AB
MB + MC > BC
MC + MD > DC
MD + MA > AD
=> MA + MB + MB + MC + MC + MD + MD + MA > AB + BC + DC + AD
=> 2MA + 2MB + 2MC + 2MD > AB + BC + DC + AD
=> 2(MA + MB + MC + MD) > AB + BC + DC + AD
=> MA + MB + MC + MD > \(\frac{1}{2}\)(AB + BC + DC + AD) (1)
Ta có MA + MB + MC + MD = AC + BD
Mà AC < AB + BC
AC < AD + DC
=> 2AC < AB + BC + DC + AD
Tương tự với BD
=> 2BD < AB + BC + DC + AD
=> 2AC + 2BD < 2(AB + BC + DC + AD)
=> 2(AC + BD) < 2(AB + BC + DC + AD)
=> AC + BD > AB + BC + DC + AD (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
DH
12 tháng 7 2017
Xét tam giác ABM; tam giác BCM; tam giác ADM; tam giác CDM ta có:
\(AM+BM>AB;BM+CM>BC;AM+DM>AD;CM+DM>CD\)
(áp dụng bất đẳng thức tam giác)
\(\Rightarrow AM+BM+BM+CM+AM+DM+CM+DM>AB+BC+AD+CD\)
\(\Rightarrow2.\left(AC+BD\right)>AB+BC+CD+AD\)(1)
\(\Rightarrow AC+BD>\dfrac{AB+BC+CD+AD}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\dfrac{AB+BC+CD+AD}{2}< AC+BD< AB+BC+CD+AD\)
Vậy trong 1 tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy(đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!
CM
28 tháng 9 2017
. a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác OAB, OBC,OCD và ODA.
b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a).
Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác ABC, ADC, ABD và CBD
CM
22 tháng 2 2019
Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = AD
Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.
* Trong ∆ OAB, ta có:
OA + OB > a (bất đẳng thức tam giác) (1)
* Trong ∆ OCD, ta có:
OC + OD > c (bất đẳng thức tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c (*)
* Trong ∆ ΔOAD, ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)
* Trong ∆ OBC, ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra:
OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d (**)
Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d
* Trong ∆ ABC, ta có: AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác)
* Trong ∆ ADC, ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: 2AC < a + b + c + d
* Trong ∆ ABD, ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)
* Trong ∆ BCD, ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: 2BD < a + b + c + d
Từ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d
7 tháng 7 2023
Gọi O là giao của AC và BD
AB>AO+BO
AD>AO+DO
BC>BO+CO
DC>DO+CO
=>AB+AD+BC+CD>2(AC+BD)
=>(AC+BD)<P/2
AC<AB+BC
AC<AD+DC
BD<BC+CD
BD<AB+AD
=>2(AC+BD)<2*C ABCD
=>AC+BD<C ABCD