Tìm m để \(\left(x+1\right)^2+\sqrt{2x\left(x+a+1\right)}=a^2+1+\left|x+a\right|\) có đúng 1 nghiệm thuộc [-2;2]
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
- Với \(m=-1\Rightarrow x=\dfrac{6}{7}\) (ktm)
- Với \(m\ne-1\)
\(\Delta=\left(8m+1\right)^2-24m\left(m+1\right)=40m^2-8m+1>0;\forall m\) \(\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb
Để pt có 2 nghiệm thỏa mãn: \(x_1< x_2\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-\left(x_1+x_1\right)+1\ge0\\x_1+x_2< 2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6m}{m+1}-\dfrac{8m+1}{m+1}+1\ge0\\\dfrac{8m+1}{m+1}< 2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-m}{m+1}\ge0\\\dfrac{6m-1}{m+1}< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< m\le0\\-1< m< \dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-1< m\le0\)
\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm thuộc khoảng đã cho khi: \(\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -1\end{matrix}\right.\)
b.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2-\left(8m+1\right)x+6m\)
Pt đã cho có đúng 1 nghiệm thuộc (0;1) khi:
\(f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow6m\left(m+1-8m-1+6m\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-6m^2< 0\)
\(\Leftrightarrow m\ne0\)
a.
- Với \(m=\pm1\Rightarrow-6x=1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{6}\) có nghiệm
Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)
- Với \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\Rightarrow1-m^2>0\)
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[\left(1-m\right)^2x^3-6x-1\right]\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-m^2-\dfrac{6}{m^2}-\dfrac{1}{m^3}\right)=-\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)
- Với \(-1< m< 1\Rightarrow1-m^2< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\right]=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left[\left(1-m^2\right)-\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}\right]=+\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)
Vậy pt đã cho có nghiệm với mọi m
b. Để chứng minh pt này có đúng 1 nghiệm thì cần áp dụng thêm kiến thức 12 (tính đơn điệu của hàm số). Chỉ bằng kiến thức 11 sẽ ko chứng minh được
c.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5\)
Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R
\(f\left(2\right)=4-5=-1< 0\)
\(f\left(3\right)=6-5=1>0\)
\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(3\right)< 0\) với mọi m
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2;3) với mọi m
Hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm
b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì (m+2)(m-4)<0
=>-2<m<4
Bài 2.
ĐK: $x\geq \frac{-11}{2}$
$x+\sqrt{2x+11}=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{2x+11}$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ x^2=2x+11\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ x^2-2x-11=0(*)\end{matrix}\right.\)
\(\Delta'(*)=12\)
\(\Rightarrow x=1\pm \sqrt{12}=1\pm 2\sqrt{3}\). Với điều kiện của $x$ suy ra $x=1-2\sqrt{3}$
$\Rightarrow a=1; b=-2\Rightarrow ab=-2$
Bài 1.
Đặt $x^2+2x=t$ thì PT ban đầu trở thành:
$t^2-t-m=0(1)$
Để PT ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì:
Trước tiên PT(1) cần có 2 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi $\Delta (1)=1+4m>0\Leftrightarrow m> \frac{-1}{4}(*)$
Với mỗi nghiệm $t$ tìm được, thì PT $x^2+2x-t=0(2)$ cần có 2 nghiệm $x$ phân biệt.
Điều này xảy ra khi $\Delta '(2)=1+t>0\Leftrightarrow t>-1$
Vậy ta cần tìm điều kiện của $m$ để (1) có hai nghiệm $t$ phân biệt đều lớn hơn $-1$
Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (t_1+1)(t_2+1)>0\\ t_1+t_2+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t_1t_2+t_1+t_2+1>0\\ t_1+t_2+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -m+1+1>0\\ 1+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2(**)\)
Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{-1}{4}< m< 2$
b)
Để pt ban đầu vô nghiệm thì PT(1) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm $t$ đều nhỏ hơn $-1$
PT(1) vô nghiệm khi mà $\Delta (1)=4m+1<0\Leftrightarrow m< \frac{-1}{4}$
Nếu PT(1) có nghiệm thì $t_1+t_2=1>-2$ nên 2 nghiệm $t$ không thể cùng nhỏ hơn $-1$
Vậy PT ban đầu vô nghiệm thì $m< \frac{-1}{4}$
c) Để PT ban đầu có nghiệm duy nhất thì:
\(\left\{\begin{matrix} \Delta (1)=1+4m=0\\ \Delta' (2)=1+t=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=-\frac{1}{4}\\ t=-1\end{matrix}\right.\).Mà với $m=-\frac{1}{4}$ thì $t=\frac{1}{2}$ nên hệ trên vô lý. Tức là không tồn tại $m$ để PT ban đầu có nghiệm duy nhất.
d)
Ngược lại phần b, $m\geq \frac{-1}{4}$
e)
Để PT ban đầu có nghiệm kép thì PT $(2)$ có nghiệm kép. Điều này xảy ra khi $\Delta' (2)=1+t=0\Leftrightarrow t=-1$
$t=-1\Leftrightarrow m=(-1)^2-(-1)=2$
Với \(x=0\) ko là nghiệm
Với \(x\ne0\) chia 2 vế cho \(x^2\)
\(\Rightarrow2x^2+\left(m+1\right)x-36+\dfrac{2\left(m+1\right)}{x}+\dfrac{8}{x^2}=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+\dfrac{4}{x^2}+4\right)+\left(m+1\right)\left(x+\dfrac{2}{x}\right)-44=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^2+\left(m+1\right)\left(x+\dfrac{2}{x}\right)-44=0\)
Đặt \(x+\dfrac{2}{x}=t\Rightarrow x^2-tx+2=0\) (2)
(2) có nghiệm khi \(\Delta=t^2-8\ge0\) (1 nghiệm khi dấu "=" xảy ra, còn lại là 2 nghiệm)
Khi đó pt trở thành:
\(f\left(t\right)=2t^2+\left(m+1\right)t-44=0\) (3)
Do \(ac=-88< 0\) nên (3) luôn có 2 nghiệm pb trái dấu
Phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực khi:
TH1: (3) có 2 nghiệm pb sao cho \(t^2=8\) , thế vào (1) ko có m thỏa mãn
TH2: (3) có 2 nghiệm thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}t_1^2>8\\t_2^2< 8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t_1< -2\sqrt{2}< t_2< 2\sqrt{2}\\-2\sqrt{2}< t_1< 2\sqrt{2}< t_2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow f\left(-2\sqrt{2}\right).f\left(2\sqrt{2}\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left[-2\sqrt{2}\left(m+1\right)-28\right]\left[2\sqrt{2}\left(m+1\right)-28\right]< 0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\sqrt{2}\left(m+1\right)>28\\2\sqrt{2}\left(m+1\right)< -28\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>7\sqrt{2}-1\\m< -7\sqrt{2}-1\end{matrix}\right.\)
1:
\(=\left(\dfrac{1}{x-2\sqrt{x}}+\dfrac{2}{3\sqrt{x}-6}\right):\dfrac{2\sqrt{x}+3}{3\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{3+2\sqrt{x}}{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\dfrac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+3}=\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)
\(\left(x+1\right)^2+\sqrt{2x\left(x+a+1\right)}=a^2+1+\left|x+a\right|\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+\sqrt{2x^2+2xa+2x}=a^2+\left|x+a\right|\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2ax+2x+\sqrt{2x^2+2xa+2x}=x^2+2ax+a^2+\left|x+a\right|\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x^2+2xa+2x}+\dfrac{1}{2}\right)^2=\left(\left|x+a\right|+\dfrac{1}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+2xa+2x}=\left|x+a\right|\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2xa+2x=x^2+2xa+a^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x=a^2\)
Đồ thị hàm số:
Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(0\le a^2\le8\Leftrightarrow-2\sqrt{2}\le a\le2\sqrt{2}\)