Cho a>1 , b>1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A = \(\frac{a^2}{b-1}\)+\(\frac{b^2}{a-1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 1 2018
Đặt \(a-1=x>0,b-1=y>0\), ta có
\(A=\frac{\left(x+1\right)^2}{x}+\frac{\left(y+1^2\right)}{y}=\frac{x^2+2x+1}{x}+\frac{y^2+2y+1}{y}\)
\(=\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+4\)
Với \(x>0,y>0\)ta có \(x+\frac{1}{x}\ge2,y+\frac{1}{y}\ge2\)nên \(A\ge8\)
\(Min_A=8\Leftrightarrow x=y=1\Leftrightarrow a=b=2\)
P/s tham khảo nha
PN
9 tháng 8 2020
Sử dụng \(AM-GM\)ta có :
\(\frac{a^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\ge2\sqrt{\left(2a\right)^2}=4a\)
Tương tự : \(\frac{b^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\ge4b\)
Cộng theo vế : \(A+4\left(a+b\right)-8\ge4\left(a+b\right)\)
\(< =>A\ge8\)
Dấu = xảy ra \(< =>a=b=2\)
NL
14 tháng 5 2021
\(M=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}+4ab\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{5}{4ab}\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{5}{4ab}\)
( Nếu đi thi thì sẽ phải chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) cái này nhân chéo và cô si là xong )
Ta có BĐT phụ: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( đúng )
\(\Rightarrow M\ge\frac{4}{1}+2+5=11\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1/2
Vậy ...
12 tháng 11 2016
a+b=2=> a=2-b
\(\Rightarrow\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\left(\frac{a^2-4}{a^2}\right)\left(\frac{b^2-4}{b^2}\right)=\frac{\left(2-b\right)^2-4}{\left(2-b\right)^2}.\frac{b^2-4}{b^2}\)
=\(\frac{b^2-2b-8}{b^2-2b}\)
đặt A=\(\frac{b^2-2b-8}{b^2-2b}\)
đkxđ \(\hept{\begin{cases}b\ne0\\b\ne2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow Ab^2-2bA=b^2-2b-8\)
\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)b^2-2\left(A-1\right)b+8=0\)
nếu A=1 => 8=0 (vô lý)
nếu A khác 1 pt có nghiệm khi \(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left[-2\left(A-1\right)\right]^2-4\left(A-1\right).8\ge0\)
\(4A^2-40A+36\ge0\Leftrightarrow A^2-10A+9\ge0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}A\le1\\A\ge9\end{cases}}\)
GTNN A=9 dấu "=" <=> a=b=1
bạn ơi mình đặt nhầm B thành A rồi bn tự sửa lại nhé!
12 tháng 11 2016
\(B=\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\left(1-\frac{2}{a}\right)\left(1-\frac{2}{b}\right)\left(1+\frac{2}{a}\right)\left(1+\frac{2}{b}\right)\)
\(=\frac{\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{a^2b^2}=\frac{ab.\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{a^2b^2}=\frac{ab+2\left(a+b\right)+4}{ab}=\frac{8}{ab}+1\)
Theo BĐT Cauchy thì : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
Suy ra : \(A\ge\frac{8}{\frac{2^2}{4}}+1=9\).Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1/2
Vậy ......................................
TT
27 tháng 9 2020
Theo Svac - xơ có :
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{9}{ab+bc+ca}\)
Khi đó \(P\ge\frac{9}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\left(\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2.\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{21}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{30}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=: xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Vậy \(P_{min}=\frac{10}{3}\) khi \(a=b=c=1\)
Ta có:
\(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}.\frac{b^2}{a-1}}\)
\(=2.\frac{a}{\sqrt{a-1}}.\frac{b}{\sqrt{b-1}}\)
Vì \(\frac{a}{\sqrt{a-1}}\ge2;\frac{b}{\sqrt{b-1}}\ge2\Rightarrow A\ge8\)
=> min A=8 <=> a=b=2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Đặt a + b - 2 = x => x > 0
Khi đó \(A\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}=\frac{\left(x+2\right)^2}{x}=\frac{x^2+4x+4}{x}=\left(x+\frac{4}{x}\right)+4\ge2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}+4=8\)( AM-GM )
Đẳng thức xảy ra <=> x = 2 => a=b=2
Vậy MinA = 8 <=> a=b=2