Question

[Dương]

giải hệ phương trình

Answer 1

[ミ★Zero ❄ ( Hoàng Nhật )]

Lấy phương trình 2 trừ phương trình 1 ta được 

\(z^2-x^2+yz-xy=3\)

\(\left(z-x\right)\left(z+x\right)+y\left(z-x\right)=3\)

\(\left(z-x\right)\left(x+y+z\right)=3\)      ( 1 )

Tương tự lấy phương trình 3 trừ phương trình 2 ta được

\(\left(x-y\right)\left(x+y+z\right)=3\)      ( 2 )

Lấy ( 1 ) - ( 2 )

\(\left(x+y+z\right)\left(z+y-2x\right)=0\)

Mà \(x+y+z\ne0\)( Do từ ( 1 ) ta thấy vô lý ) nên \(2x=y+z\)

Từ phương trình ban đầu ta có :

\(0=4\left(x^2+xy+y^2\right)-\left(y^2+yz+z^2\right)=4x^2+4xy+3y^2-yz-z^2\)

Thay \(x=\frac{y+z}{2}\)vào ta được:

\(\left(y+z\right)^2+2y\left(y+z\right)+3y^2-yz-z^2=0\)

\(6y^2+3yz=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\z=-2y\end{cases}}\)

Với \(y=0\)\(\Rightarrow x^2=1\); \(z^2=4\); \(xz=2\)= > x = 1; z = 2 hoặc x = -1; z = -2

Với \(z=-2y\)thay vào phương trình 2 ta có \(3y^2=4\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{2}{\sqrt{3}}\\y=\frac{-2}{\sqrt{3}}\end{cases}}\)

+ Với \(y=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow z=-\frac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

+ Với \(y=\frac{-2}{\sqrt{3}}\Rightarrow z=\frac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{3}}\)