cho a,b,c là các số dương và \(a^2+b^2+c^2=2\) chứng minh rằng 1/a+1/b-1/c<=1/abc
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 10 2020
VT=\(\frac{a^2}{ab+\frac{1}{b}}+\frac{b^2}{bc+\frac{1}{c}}+\frac{c^2}{ca+\frac{1}{a}}\)
áp dụng bđt cộng mẫu đc VT \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+\frac{ab+bc+ca}{abc}}\left(1\right)\)
Ta có \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\forall a,b,c\)
Nên \(\left(1\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3abc}}=\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{1}{3abc}}=\frac{3abc}{1+abc}\left(đccm\right)\)
dấu bằng xảy ra <> a=b=c
16 tháng 1 2017
ta có:
a/a+b>a/a+b+c
b/b+c>b/a+b+c
c/a+c>c/a+b+c
cộng vế theo vế ta có
a/a+b +b/b+c +c/c+a > a+b+c / a+b+c =1
=>a/a+b +b/b+c +c/c+a >1 (*)
lại có
a/a+b< a+c/a+b+c
b/b+c < b+a / a+b+c
c/c+b < c+b/a+b+c
cộng vế theo vế ta có
a/a+b + b/b+c +c/c+a < 2(a+b+c)/ a+b+c
vì a,b,c là các số dương nên a/a+b + b/b+c +c/c+a < 2 (**)
từ (*) và (**) => ĐPCM
mik chắc chắn bài này chuẩn đúng 100% nhớ cho mik 5 sao nha
TM
16 tháng 1 2017
Vì a;b;c là các số dương nên \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+c}>\frac{c}{a+b+c}\)
=>\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)(1)
Ta có: a<a+b <=> ac<ac+bc <=> ac+a2+ab<ac+bc+a2+ab
<=> \(a\left(c+a+b\right)< \left(a+b\right)\left(c+a\right)\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự được : \(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c};\frac{c}{a+c}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
=>\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=2\) (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
1. Đề thiếu
2. BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)
3.
Ta có:
\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Lại có:
\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
4.
Ta có:
\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
5.
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)
Ê Ngọc Mai sao ko viết bằng latex
Chắc là giải như này
Ta có \(ab+ac+bc\le a^2+b^2+c^2=2\) (1)
\(2ab+1\ge2\sqrt{2ab}\ge2\) vì a,b dương(2)
(1)(2)=> \(ab+ac+bc\le2ab+1\). Suy ra \(ac+bc-ab\le1\)
Suy ra \(\frac{ac+bc-ab}{abc}\le\frac{1}{abc}\)=> đpcm