cho hình thang abcd (ab//cd) có mn là đường trung bình.chứng minh mn<ac
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Kéo dìa MN cắt AD tại E.
Xét tam giác ABD có:
DM=MB
EM //AB ( vì MN // AB)
=> AE = ED
=> EM là đường trung bình của tam giác ABD.
=> EM = \(\frac{1}{2}\) AB (1)
Xét tam giác ADC có:
AE = ED
AN= NC
=> EN là đường trung bình của tam giác ADC.
=> EN = \(\frac{1}{2}\) DC (2)
Lấy (2) trừ (1) theo vế, ta có:
\(EN-EM=\) \(\frac{1}{2}DC-\frac{1}{2}AB\)
\(\Rightarrow MN=\frac{DC-AB}{2}\) ( ĐPCM)
Nối AD,MD,BC,NC .Ta có :
SACD = 2SMCD (vì có chung đường cao hạ từ D và có đáy AC = 2MC)
SBCD = 2SNCD (vì có chung đường cao hạ từ C và có đáy BD = 2ND)
SACD = SBCD (vì có đường cao hạ từ A và B bằng nhau và có chung đáy CD)
=> SMCD = SNCD => Đường cao hạ từ M và N của 2 tam giác MCD và NCD bằng nhau (vì SMCD = SNCD và có chung đáy CD)
=> MN // CD mà AB // CD nên AB,MN,CD song song với nhau.
Gọi P là trung điểm của AD, nối PM
Trong ΔDAB ta có:
Suy ra:
Suy ra: PM // AB (Định lí đảo của định lí Ta-lét) (1)
Trong △ ACD, ta có
Suy ra:
Suy ra: PN // CD (định lí đảo định lí Ta-lét) (2)
Từ (1) và (2) và theo tiên đề Ơ-clít suy ra P, M, N thẳng hàng.
Vậy MN // CD hay MN // AB.
Vì PM là đường trung bình của tam giác DAB nên:
PM = AB/2 (tính chất đường trung bình tam giác)
Vì PN là đường trung bình của tam giác ΔACD nên:
PN = CD/2 (tính chất đường trung hình tam giác)
Mà PN = PM + MN
Suy ra: MN = PN – PM = CD/2 - AB/2 = (CD-AB)/2
\(MN=\dfrac{AB+CD}{2}=\dfrac{9+11}{2}=10\left(cm\right)\)