K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

a + b + c = 0 
<=> (a + b + c)² = 0 
<=> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0 
<=> a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca) ------------(1) 

Cần chứng minh: 

2(a^4 + b^4 + c^4) = (a² + b² + c²)² 

<=> 2(a^4 + b^4 + c^4) = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> a^4 + b^4 + c^4 = 2(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> (a² + b² + c²)² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ---(cộng 2 vế cho 2(a²b² + b²c² + c²a²) ) 

<=> [-2(ab + bc + ca)]² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ----(do (1)) 

<=> 4.(a²b² + b²c² + c²a²) + 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 4(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 0 

<=> 8abc.(a + b + c) = 0 

<=> 0 = 0 (đúng), Vì a + b + c = 0 

=> Đpcm

mk ko bít đúng ko?? 454655457457574574574579897847346246346346

3 tháng 7 2016

Từ a+b+c=0 có b+c =-a 
=> (b+c)2 = (-a)2 hay b2 + c2 +2bc = a2 
hay b2 + c2 -a2 = -2bc 
=> (b2 + c2 - a2)2 = (-2bc)2 
<=> b4 + c4 + a4 +2b2.c2 - 2a2.b2 - 2a2.c2 = 4b2.c2 
<=> a4 + b4 + c4 = 2a2.b2 + 2b2.c2 + 2c2.a2 <=> 2(a4 + b4 + c4) =a4 + b4 + c4 + 2a2.b2 + 2b2.c2 + 2c2.a2 
<=> 2(a^4 + b^4 + c^4 ) =(a^2 + b2 + c2)2

20 tháng 8 2023

Ta có: \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0\)

Mặt khác: \(a^2\ge0\forall a;b^2\ge0\forall b;c^2\ge0\forall c\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge0\) 

Suy ra: \(2ab+2bc+2ac=0\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac=0\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)^2=0\) (1)

Lại có: \(a^4+b^4+c^4\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2\right]\)

\(=0-2\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2+2\left(ab+bc+ac\right)-2\left(ab+bc+ac\right)\right]\)

\(=-2\left(ab+bc+ac\right)^2-4\left(ab+bc+ac\right)\)

\(=0\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ac\right)^2=0\)

hay \(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+ac+bc\right)^2\)

Kiểm tra hộ mình xem có đúng không ạ!

NV
23 tháng 1 2022

Đặt \(\left(\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c^2+a^2};\sqrt{a^2+b^2}\right)=\left(x;y;z\right)\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b^2=\dfrac{x^2+z^2-y^2}{2}\\c^2=\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2x}+\dfrac{x^2+z^2-y^2}{2y}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2z}\)

\(VT\ge\dfrac{\left(y+z\right)^2}{4x}+\dfrac{\left(x+z\right)^2}{4y}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4z}-\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(VT\ge\dfrac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}-\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(VT\ge\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\)

\(VT\ge\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(c+a\right)^2}\right)\)

\(VT\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}}\) (đpcm)

23 tháng 1 2022

 

 

3 tháng 7 2016

Cho a+b+c=0 và a^2+b^2+c^2=14                      

Tính B=a^4+b^4+c^4

3 tháng 7 2016

bằng 0

24 tháng 2 2018

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

chúc bạn học tốt ^^ ( lần trước có làm, h lười đánh lại:P)

25 tháng 2 2018

trần gia hy:hông có chi

4 tháng 1 2016

 mk chẳng biết  nguyen hoang phi hung ak

6 tháng 8 2017

co a+b+c=0 =>b+c=-a

suy ra (b+c)2=(-a)2  hay b2+2bc+c2 =a2

hay b2+c2-a2 =-2bc

Suy ra (b2 + c2 - a)2 =( -2bc)2

<=> b+c4 +a+2b2c2 -2a2b2 -2a2c2 = 4b2c2

<=> a4+b4+c4 =2a2b2+2b2c2+2c2a2

<=> 2(a4+b4+c4) = a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2

<=> a2+b2+c2 =2(a4+b4+c4) (dpcm)