1) Cho a,b,c>0 tm a b c=3. Cmr $\frac{1}{2 a^2 b^2} \frac{1}{2 b^2 c^2} \frac{1}{2 c^2 a^2}\le\frac{3}{4}$2) Cho a,b,c>0 tm a^2 b^2 c^2 bé hơn hoặc bằng abc. Cmr \(\frac{a}{a^2 bc} \frac{b}{b^2 ca} ...

KS

Kudo Shinichi

2 tháng 7 2016 - olm

1) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3. Cmr $\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le\frac{3}{4}$2) Cho a,b,c>0 tm a^2+b^2+c^2 bé hơn hoặc bằng abc. Cmr $\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}$3) Cho a,b,c>0 tm a+b+c<=3. Cmr $\frac{ab}{\sqrt{3+c}}+\frac{bc}{\sqrt{3+a}}+\frac{ca}{\sqrt{3+b}}\le\frac{3}{2}$4) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=2. Cmr $\frac{a}{\sqrt{4a+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{4b+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{4c+3ab}}\le1$5) Cho a,b,c>0....

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

KS

Kudo Shinichi

4 tháng 7 2016 - olm

1) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3. Cmr $\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le\frac{3}{4}$2) Cho a,b,c>0 tm $a^2+b^2+c^2\le abc$.Cmr $\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}$3) Cho a,b,c>0 tm $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1$.Cmr $\sqrt{\frac{ab}{a+b+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{ca}{c+a+2b}}\le\frac{1}{2}$Giúp mình mới nhé các bạn. Mình đang cần...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

1

KS

Kudo Shinichi

6 tháng 7 2016

Trả lời hộ mình đi

Đúng(0)

KS

Kudo Shinichi

2 tháng 7 2016 - olm

Giúp mình mấy câu này với nhé các ban.1) Cho a,b,c>0 cmr:$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a^2}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}$2)Cho a,b,c>0 và abc=1. Cmr:$\sqrt{\frac{a}{4a+4b+1}}+\sqrt{\frac{b}{4b+4c+1}}+\sqrt{\frac{c}{4c+4a+1}}\le1$3)Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3 Cmr $\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le\frac{3}{4}$Mình cảm ơn các bạn...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

2

TN

Thắng Nguyễn

2 tháng 7 2016

Bài 1:

Đặt $a^2=x;b^2=y;c^2=z$

Ta có:$\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}$

Áp dụng BĐT cô si ta có:

$\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}}$

$\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}\right]$

Tương tự với $\sqrt{\frac{y}{y+z}}$và $\sqrt{\frac{z}{z+x}}$

Cộng lại ta được:

$\frac{\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]+\frac{3}{2\sqrt{2}}\le\frac{3}{2\sqrt{2}}$

Sau đó bình phương hai vế rồi

$\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz$đẳng thức đúng

Vậy...

Bài 2:

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\le\frac{1}{3}$

Nhân cả hai vế bđt với 4(a+b+c)4(a+b+c) rồi thu gọn ta được bđt sau:

$\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+c}+\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}+\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}$$\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)$

$\left[\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+}-a\right]+\left[\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}-b\right]+\left[\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}-c\right]\le\frac{a+b+c}{3}$

$\frac{ca}{4a+4b+c}+\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}\le\frac{a+b+c}{9}$

Áp dụng bđt cauchy-Schwarz ta có $\frac{ca}{4a+4b+c}=\frac{ca}{\left(2b+c\right)+2\left(2a+b\right)}$$\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}\right)$

Từ đó ta có:

$\text{∑}\frac{ca}{4a+4b+c}\le\frac{1}{9}\text{∑}\left(\frac{ca}{2b+c}+\frac{2ca}{2a+b}\right)$$=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ca}{2a+b}\right)$$=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ab}{2b+c}\right)=\frac{a+b+c}{9}$

Đặt VT=A rồi áp dụng bđt cauchy-Schwarz cho VT ta có

$T^2\le3\left(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\right)$$\le3\cdot\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow T\le1$

Dấu = xảy ra khi a=b=c

c bạn tự làm nhé mình mệt rồi :D

Đúng(0)

NX

Nguyễn Xuân Sáng

2 tháng 7 2016

- Ôi má ơi, má patient dử dậy :)

Đúng(0)

DT

Đạt Trần Tiến

22 tháng 10 2017

Cho a,b,c >0 tm abc=1 CMR

$\frac{1}{(a+1)^2+b^2+1}+\frac{1}{(b+1)^2+c^2+1}\frac{1}{(c+1)^2+a^2+1} \le\frac{1}{2} $

#Toán lớp 9

1

LF

Lightning Farron

22 tháng 10 2017

Ta có:

$\left(a+1\right)^2+b^2+1=a^2+2a+b^2+2$$\ge2ab+2a+2$

$\Rightarrow\dfrac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}\le\dfrac{1}{2\left(ab+a+1\right)}$

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

$\dfrac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}\le\dfrac{1}{2\left(bc+b+1\right)};\dfrac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le\dfrac{1}{2\left(ca+c+1\right)}$

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

$VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab+a+1}+\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{1}{ca+c+1}\right)$

$=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{bc}{b+1+bc}+\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}\right)$

$=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{bc+b+1}{bc+b+1}=\dfrac{1}{2}=VP$

Xảy ra khi $a=b=c=1$

Đúng(0)

BN

bach nhac lam

18 tháng 11 2019

1.$\left\{{}\begin{matrix}a,b,c0\\ab+bc+ca=3\end{matrix}\right.$ Cmr: $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}$ 2.$a,b,c0$. Cmr: $\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{a+b+c}{4}$ 3. $a,b,c0$. Cmr:...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

4

NB

Ngô Bá Hùng

18 tháng 11 2019

1. Vai trò a, b, c như nhau. Không mất tính tổng quát. Giả sử $a\ge b\ge0$

Mà $ab+bc+ca=3$. Do đó $ab\ge1$

Ta cần chứng minh rằng $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\left(1\right)$

Và $\frac{2}{1+ab}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{2}\left(2\right)$

Thật vậy: $\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\ge0\\ \Leftrightarrow\left(ab-a^2\right)\left(1+b^2\right)+\left(ab-b^2\right)\left(1+a^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[-a\left(1+b^2\right)+b\left(1+a^2\right)\right]\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)\ge0\left(BĐT:đúng\right)$

$\left(2\right)\Leftrightarrow c^2+3-ab\ge3abc^2\\ \Leftrightarrow c^2+ca+bc\ge3abc^2\Leftrightarrow a+b+c\ge3abc$

BĐT đúng, vì $\left(a+b+c\right)^2>3\left(ab+bc+ca\right)=q$

và $ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}$

Nên $a+b+c\ge3\ge3abc$

Từ (1) và (2) ta có $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{2}$

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Đúng(0)

NB

Ngô Bá Hùng

18 tháng 11 2019

Áp dụng BĐT Cauchy dạng $\frac{9}{x+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$, ta được

$\frac{9}{a+3b+2c}=\frac{1}{a+c+b+c+2b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)$

Do đó ta được

$\frac{ab}{a+3b+2c}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2}\right)$

Hoàn toàn tương tự ta được

$\frac{bc}{2a+b+3c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{b}{2}\right);\frac{ac}{3a+2b+c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}+\frac{c}{2}\right)$

Cộng theo vế các BĐT trên ta được

$\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ac+bc}{a+b}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{6}$Vậy BĐT đc CM

ĐẲng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c >0

Đúng(0)

BN

bach nhac lam

19 tháng 10 2019

1. cho $0< a\le b\le c$ . Cmr: $\frac{2a^2}{b^2+c^2}+\frac{2b^2}{c^2+a^2}+\frac{2c^2}{a^2+b^2}\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$ 2. cho $a,b,c\ge0$. cmr: $a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge2\left(ab+bc+ca\right)$ 3. $a,b,c>0.$ Cmr: $\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc+\sqrt[3]{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}$ 4. $a,b,c0$. Tìm Min...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

5

T

tthnew

11 tháng 11 2019

2/ Không mất tính tổng quát, giả sử $c=min\left\{a,b,c\right\}$.

Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: $a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0$ (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.

Nếu $abc\ne0$. Chia hai vế của BĐT cho $\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}$

BĐT quy về: $\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}$

Đặt $\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1$

Cần chúng minh: $x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)$ (1)

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử $\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0$

$\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z$. Thay vào (1):

$VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1$

$=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz$

$\ge2\left(xy+yz+zx\right)$

Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.

Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(

Đúng(0)

T

tthnew

6 tháng 7 2020

Để đưa về chứng minh $(1)$ và $(2)$ ta dùng:

Định lí SOS: Nếu $X+Y+Z=0$ thì $AX^2+BY^2+CZ^2\ge0$

khi $\left\{{}\begin{matrix}A+B+C\ge0\\AB+BC+CA\ge0\end{matrix}\right.$

Chứng minh: Vì $\sum\left(A+C\right)=2\left(A+B+C\right)\ge0$

Nên ta có thể giả sử $A+C\ge0$. Mà $X+Y+Z=0$ nên$:$

$AX^2+BY^2+CZ^2=AX^2+BY^2+C\left[-\left(X+Y\right)\right]^2$

$={\frac { \left( AX+CX+CY \right) ^{2}}{A+C}}+{\frac {{Y}^{2} \left( AB+AC+BC \right) }{A+C}} \geq 0$

Đúng(0)

LT

Lê Tuấn Nghĩa

3 tháng 8 2019 - olm

Cho a,b,c >0 TM ab+bc+ac=3abc CMR

$\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{3}{2}$

#Toán lớp 9

1

TT

Thanh Tùng DZ

3 tháng 8 2019

Câu hỏi của TRẦN HỮU ĐẠT - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Đúng(0)

ND

Nguyễn Duy Long

27 tháng 8 2017 - olm

ten ten ten1. Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR sigma$\frac{a-bc}{a+bc}\le\frac{3}{2}$2. cho a,b,c>0 va abc=1 CMR sigma$\frac{1}{a\left(b+1\right)}\ge\frac{3}{2}$3.(i think it is difficult for you)ch a,b,c>0 CMR sigma$\frac{b^2c^3}{a^2+\left(b+c\right)^3}\ge\frac{9abc}{4\left(3abc+ab^2+bc^2+ca^2\right)}$4. CMR với mọi n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì \(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}<...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

L

LIVERPOOL

27 tháng 8 2017

bài 1

<=> $\frac{bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}$

sử dụng tiếp cauchy sharws

Bài 2: đặt a=x/y, b=y/x, c=z/x

Đúng(0)

DD

Đinh Diệp

12 tháng 8 2019

a) cmr (ax+by+cz)$^2$≤$\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)$

b) cho a,b,c >0 tm $a^2+b^2+c^2=1$

cmr :$\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{a}{2\left(a+b+c\right)}$

#Toán lớp 9

0

LT

Lê Thành An

11 tháng 2 2020 - olm

a,b,c>0, a+b+c bé hơn hoặc bằng 1. CMR

$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)}$ lớn hơn hoặc bằng 87/2

#Toán lớp 9

1

HD

Hoàng Đình Minh Dương

11 tháng 2 2020

a,b,c< 0 mà a+b+c bé hơn hoặc bằng 1

a+b+c ít nhất phải bằng 3 chứ!

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP