Question

[Nguyễn Diệu Thiện]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh : góc B = 60 độ <=> \(\frac{AC}{AB}=\sqrt{3}\)

Answer 1

[Vũ Trọng Nghĩa]

A B C M 60

Dùng kiến thức hình học 7 để chứng minh bài này như sau: Gọi AM là đứng trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC ta có : AM = MB = MC = BC/2 

           Tam giác AMB có : MA = MB => tam giác AMB cân tại M. ta lại có góc B = 60 độ. => tam giác AMB đều 
           => AB = MB = BC/2  (1 ) 

         Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông ABC ta có : \(AC^2=BC^2-AB^2\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{BC^2-\frac{BC^2}{4}}=\frac{BC\sqrt{3}}{2}.\)((2) 

Từ (1) và (2 ) suy ra : \(\frac{AC}{AB}=\sqrt{3}\)

Chứng minh điều ngược lại: vì \(\frac{AC}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow AC=AB\sqrt{3}\)

                            Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông ABC  được : \(BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{4AB^2}=2AB.\)

                            => AB = BC/2 (3) 

                             AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên AM = MB = BC/2  (4)

                            Từ (3) và (4) => AB = AM = MB => tam giác AMB đều => góc B = 60 độ ( đpcm )