Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: AC2+BD2 = 2( AB2+ AD2)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NQ
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 3 2021
Ta có: \(AC^2+BD^2=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)^2+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right)^2\)
\(=AB^2+AD^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+BC^2+BA^2+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}\)
\(=AB^2+AD^2+BC^2+AD^2+2\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=AB^2+AD^2+BC^2+AD^2\)
OL
3
TM
28 tháng 8 2021
- Gọi E là giao điểm của AC và BD
△ABE có trung tuyến BE
\(\Rightarrow BE^2=\dfrac{2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2}{4}\)
\(\Rightarrow4.BE^2=2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2\)
Mà O là trung điểm BD \(\Rightarrow BD=2.BE\Rightarrow BD^2=4.BE^2\)
\(\Rightarrow BD^2=2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2\)
\(\Rightarrow BD^2+AC^2=2\left(AB^2+BC^2\right)\)
Vậy: \(AC^2+BD^2=2\left(a^2+b^2\right)\left(đpcm\right)\)
(Hình như đây là Toán 10?)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 8 2021
Lời giải:
Kẻ đường cao $BH, DT$ của hình bình hành
Dễ chứng minh $\triangle ADT =\triangle BCH$ (ch-gn)
$\Rightarrow DT=CH; AT=BH$
Áp dụng định lý Pitago:
$AC^2+BD^2=AT^2+TC^2+BH^2+DH^2$
$=(AT^2+BH^2)+TC^2+DH^2)$
$=2AT^2+(DC-DT)^2+(DC+CH)^2$
$=2(AD^2-DT^2)+(DC-DT)^2+(DC-DT)^2$
$=2(b^2-DT^2)+(a-DT)^2+(a+DT)^2$
$=2(b^2+a^2)$
Ta có đpcm.
PT
1
CM
10 tháng 9 2019
Giả sử AB ⊥ CD ta phải chứng minh:
Thật vậy, kẻ BE ⊥ CD tại E, do AB⊥CD ta suy ra CD ⊥ (ABE) nên CD ⊥ AE. Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông AEC, BEC, AED và BED ta có:
Nếu
A
C
2
−
A
D
2
=
B
C
2
−
B
D
2
=
k
2
thì trong mặt phẳng (ACD) điểm A thuộc đường thẳng vuông góc với CD tại điểm H trên tia ID với I là trung điểm của CD sao cho 
Tương tự điểm B thuộc đường thẳng vuông góc với CD cũng tại điểm H nói trên. Từ đó suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (ABH) hay CD ⊥ AB.
Nếu A C 2 − A D 2 = B C 2 − B D 2 = - k 2 thì ta có và đưa về trường hợp xét như trên A C 2 − A D 2 = B C 2 − B D 2 = - k 2 .
Chú ý. Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra:
Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau khi và chỉ khi A B 2 + C D 2 = A C 2 + B C 2 .
11 tháng 4 2022
-Sửa đề: \(\widehat{A}=\widehat{D}=90^0\)
a) -△OAB và △OCD có: \(\widehat{OAB}=\widehat{OCD};\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)
\(\Rightarrow\)△OAB∼△OCD (g-g).
b) \(AC^2-BD^2=DC^2-AB^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2-DC^2=BD^2-AB^2\)
\(\Leftrightarrow AD^2=AD^2\) (luôn đúng).
c) -△BCD có: OI//DC \(\Rightarrow\dfrac{DC}{OI}=\dfrac{BD}{BO}\Rightarrow\dfrac{DC}{OI}-1=\dfrac{OD}{BO}\)
-△AOB có: AB//DC \(\Rightarrow\dfrac{OD}{BO}=\dfrac{DC}{AB}=\dfrac{DC}{OI}-1\)
\(\Rightarrow\dfrac{DC}{AB}+1=\dfrac{DC}{OI}\Rightarrow\dfrac{DC+AB}{AB}=\dfrac{DC}{OI}\Rightarrow\dfrac{1}{OI}=\dfrac{DC+AB}{DC.AB}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{DC}\)