Question

[Vũ Ngọc Duy Anh]

Cho tam giác ABC có D, E, F theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Gọi K là một điểm cố định thuộc đoạn EF và giả sử đường tròn đường kính AD cắt một đường thẳng bất kỳ đi qua K tại M, N. Các đường thẳng ME, NF cắt đường tròn đường kính AD lần lượt ở P, Q. Chứng minh rằng trung điểm của P Q thuộc một đường tròn cố định.

Answer 1

[Ĵ❍ƙĔŔᵛᶰ(*•.¸♡ţęąɱ ƒŗęę ƒįŗę❤☆)]

Dễ thấy P là điểm chính giữa $\text{widebat}EF$ nên D,N,P thẳng hàng

Cần chứng minh $\widehat{IMC}=\widehat{PDC}$

Ta có : $\widehat{IMC}=\widehat{MIB}+\widehat{B_1}=\frac{1}{2}\widehat{BIC}+\widehat{B_1}=\frac{1}{2}\left({180}^o-\widehat{B_1}-\widehat{C_1}\right)+\widehat{B_1}$

$=\frac{1}{2}\left({180}^o-\frac{\widehat{ABC}}{2}-\frac{\widehat{ACB}}{2}\right)+\frac{\widehat{ABC}}{2}={90}^o+\frac{\widehat{ABC}}{4}-\frac{\widehat{ACB}}{4}$

$\widehat{PDC}=\widehat{PDE}+\widehat{EDC}=\frac{1}{2}\widehat{EDF}+\widehat{EDC}$$=\frac{1}{2}\left({180}^o-\widehat{FDB}-\widehat{EDC}\right)+\widehat{EDC}$

$={90}^o-\frac{\widehat{FDB}}{2}+\frac{\widehat{EDC}}{2}={90}^o-\frac{{90}^o-\widehat{B_1}}{2}+\frac{{90}^o-\widehat{C_1}}{2}$

$={90}^o+\frac{\widehat{ABC}}{4}-\frac{\widehat{ACB}}{4}$

$\Rightarrow \widehat{IMC}=\widehat{PDC}\Rightarrow IM//ND$

b) Theo câu a suy ra $\widehat{MID}=\widehat{IDP}$

Mà $\Delta PID$cân tại I ( do IP = ID ) nên $\widehat{IPD}=\widehat{IDP}$

Suy ra $\widehat{MID}=\widehat{IPD}=\widehat{QPN}$

$\Rightarrow \Delta IDM\approx \Delta PQN\left(g.g\right)$

c) từ câu b $\Rightarrow \frac{IM}{PN}=\frac{ID}{PQ}=\frac{IP}{PQ}$( 1 ) 

Theo hệ thức lượng, ta có : $IQ.IA=I{E}^2=I{P}^2$

Do đó : $\frac{QP}{IP}=1-\frac{IQ}{IP}=1-\frac{IP}{IA}=\frac{PA}{IA}$

Suy ra  $\frac{IP}{QP}=\frac{IA}{PA}$( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) $\Rightarrow \frac{IM}{PN}=\frac{IA}{PA}$kết hợp với IM // PN suy ra A,M,N thẳng hàng