Tồn tại hay không các số x,y dương thỏa mãn
\(\frac{2010}{x}-\frac{2010}{y}=\frac{2011}{x-y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 10 2017
\(S=\frac{2010^2}{2010x}+\frac{1}{2010y}-\frac{2010}{1005}\ge\frac{2011^2}{2010\left(x+y\right)}-\frac{2010}{1005}\)
\(\frac{2011^2}{2010.\frac{2011}{2012}}-\frac{2010}{1005}=\frac{2021056}{1005}\)
KK
27 tháng 12 2016
Ta có
\(\frac{x^{2010}+y^{2010}+z^{2010}+t^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\frac{x^{2010}}{a^2}+\frac{y^{2010}}{b^2}+\frac{z^{2010}}{c^2}+\frac{t^{2010}}{d^2}\)
\(=>\frac{x^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}+\frac{y^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}+\frac{z^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}+\frac{t^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\frac{x^{2010}}{a^2}+\frac{y^{2010}}{b^2}+\frac{z^{2010}}{c^2}+\frac{t^{2010}}{d^2}\)
\(=>\left(\frac{x^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{x^{2010}}{a^2}\right)+\left(\frac{y^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{y^{2010}}{b^2}\right)+\left(\frac{z^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{z^{2010}}{c^2}\right)+\left(\frac{t^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{t^{2010}}{d^2}\right)=0\)
\(=>x^{2010}\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{a^2}\right)+y^{2010}\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{b^2}\right)+z^{2010}\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{c^2}\right)+t^{2010}\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{d^2}\right)=0\)
\(Do\left\{\begin{matrix}\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{a^2}\ne0\\\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{b^2}\ne0\\\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{c^2}\ne0\\\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{d^2}\ne0\end{matrix}\right.\)
\(=>\left\{\begin{matrix}x^{2010}=0\\y^{2010}=0\\z^{2010}=0\\t^{2010}=0\end{matrix}\right.\)
\(=>\left\{\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=0\\t=0\end{matrix}\right.\)
Ta có
\(T=x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}+t^{2011}\)
\(=>T=0^{2011}+0^{2011}+0^{2011}+0^{2011}\\ T=0+0+0+0\\ T=0\)
7 tháng 3 2018
(x^2+y^2+z^2)/(a^2+b^2+c^2)=
=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 <=>
x^2+y^2+z^2=x^2+(a^2/b^2)y^2+
+(a^2/c^2)z^2+(b^2/a^2)x^2+y^2+
+(b^2/c^2)z^2+(c^2/a^2)x^2+
+(c^2/b^2)y^2+z^2 <=>
[(b^2+c^2)/a^2]x^2+[(a^2+c^2)/b^2]y^2+
+[(a^2+b^2)/c^2]z^2 = 0 (*)
Đặt A=[(b^2+c^2)/a^2]x^2; B=[(a^2+c^2)/b^2]y^2;
và C=[(a^2+b^2)/c^2]z^2
Vì a,b,c khác 0 nên suy ra A,B,C đều không âm
Từ (*) ta có A+B+C=0
Tổng 3 số không âm bằng 0 thì cả 3 số đều phải bằng 0,tức A=B=C=0
Vì a,b,c khác 0 nên [(b^2+c^2)/c^2]>0 =>x^2=0 =>x=0
Tương tự B=C=0 =>y^2=z^2=0 => y=z=0
Vậy x^2011+y^2011+z^2011=0
Và x^2008+y^2008+z^2008=0.
I
4 tháng 4 2020
PT đã cho suy ra thành
\(\left(\frac{x^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{x^{2010}}{a^2}\right)+\left(\frac{y^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{y^{2010}}{b^2}\right)+\left(\frac{z^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{z^{2010}}{c^2}\right)\)
\(+\left(\frac{t^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{t^{2010}}{d^2}\right)=0\)
\(=>x^{2010}\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{a^2}\right)+\left(tương\right)Tựnha=0\)
Do
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{a^2}\ne0\)
máy cái bạn tự suy ra cx thế
\(=>x^{2010}=y^{2010}=z^{2010}=t^{2010}=0=>x=y=z=t=0\)
ta có
\(T=x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}+t^{2011}=0+0+0+0=0\)
4 tháng 4 2020
Ta có:
\(\frac{x^{2010}+y^{2010}+z^{2010}+t^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\frac{x^{2010}}{a^2}+\frac{y^{2010}}{b^2}+\frac{z^{2010}}{c^2}+\frac{t^{2010}}{d^2}\)
<=> \(x^{2010}\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\right)+y^{2010}\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\right)\)
\(+z^{2010}\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\right)+t^{2010}\left(\frac{1}{d^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\right)=0\)(1)
Lại có: \(x^{2010};y^{2010};z^{2010};t^{2010}\ge0;\forall x,y,z,t\)
và với mọi a; b ; c ; d khác 0 có:
\(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}>0\)
\(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}>0\);
\(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}>0\);
\(\frac{1}{d^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}>0\)
=> \(x^{2010}\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\right)\ge0\)
\(y^{2010}\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\right)\ge0\)
\(z^{2010}\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\right)\ge0\)
\(t^{2010}\left(\frac{1}{d^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\right)\ge0\)
=> \(x^{2010}\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\right)+y^{2010}\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\right)\)
\(+z^{2010}\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\right)+t^{2010}\left(\frac{1}{d^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\right)\ge0\)
Như vậy (1) xảy ra<=> \(x^{2010}=y^{2010}=z^{2010}=t^{2010}=0\)
<=> x = y = z = t = 0
Thay vào T ta có : T = 0
26 tháng 4 2020
Ta có : \(\frac{x}{x^2-yz+2010}+\frac{y}{y^2-xz+2010}+\frac{z}{z^2-xy+2010}\)
\(=\frac{x^2}{x^3-xyz+2010x}+\frac{y^2}{y^3-xyz+2010y}+\frac{z^2}{z^3-xyz+2010z}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+3\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3+3xy^2+3x^2y+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}\)
26 tháng 11 2019
Áp dụng BĐT Cô - si ngược dấu :
\(\sqrt{x-2010}=\frac{1}{2}\sqrt{4\left(x-2010\right)}\le\frac{4+\left(x-2010\right)}{4}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x-2010}-1\le\frac{4+\left(x-2010\right)}{4}-1=\frac{x-2010}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}\le\frac{1}{4}\)
Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}+\frac{\sqrt{y-2011}-1}{y-2011}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-2010=4\\x-2011=4\\z-2012=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2014\\y=2015\\z=2016\end{cases}}}\)
Ta có: \(\frac{2010}{x}-\frac{2010}{y}=\frac{2010y-2010x}{xy}\)
\(\Rightarrow\frac{2010\left(y-x\right)}{xy}=\frac{2010}{x-y}\)
\(\Rightarrow2010\left(y-x\right)\left(x-y\right)=2010xy\)
\(\Rightarrow\left(y-x\right)\left(x-y\right)=xy\)
Vậy ta có 4 trường hợp:
TH1: y-x=x
=> y=2x
=> x-y = âm => xy= âm ( loại)
TH2: y-x=y
=> x= 0 ( vì x, y dương)
=> x-y= âm => xy = âm ( loại)
TH3: x-y=y
=> x=2y
=> y-x = âm => xy = âm ( loại)
TH4: x-y=x
=> y = 0 ( vì x, y dương)
=> y-x= 0-x= âm => xy âm ( loại)
Từ 4 trường hợp trên \(\Rightarrow\) ko tồn tại x, y dương để \(\frac{2010}{x}-\frac{2010}{y}=\frac{2011}{x-y}\)
Ta có :
\(\frac{2010}{x}-\frac{2010}{y}=\frac{2011}{x-y}\Leftrightarrow2010\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=2011.\frac{1}{x-y}\Leftrightarrow\frac{2010}{2011}=\frac{\frac{1}{x-y}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}\Leftrightarrow\frac{2010}{2011}=\frac{\frac{1}{x-y}}{\frac{x-y}{-xy}}\Leftrightarrow\frac{2010}{2011}=-\frac{xy}{\left(x-y\right)^2}\)
Xét vế trái (VT) : \(\frac{2010}{2011}>0\) ; Vế phải (VP) : \(-\frac{xy}{\left(x-y\right)^2}< 0\)với mọi x,y dương
=> VP < VT (vô lí)
Vậy : Không tồn tại các số x,y dương thỏa mãn đề bài.