cho x+y=1
tìm GTNN của P=(2x+1/x)^2+(2y+1/y)^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NL
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 8 2021
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{x^2+1}=a>0\\y+\sqrt{y^2+1}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+1}=a-x\\\sqrt{y^2+1}=b-y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2ax=a^2-1\\2by=b^2-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a^2-1}{2a}\\y=\dfrac{b^2-1}{2b}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a^2-1}{2a}+\sqrt{\left(\dfrac{b^2-1}{2b}\right)+1}\right)\left(\dfrac{b^2-1}{2b}+\sqrt{\left(\dfrac{a^2-1}{2a}\right)+1}\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a^2-1}{2a}+\dfrac{b^2+1}{2b}\right)\left(\dfrac{b^2-1}{2b}+\dfrac{a^2+1}{2a}\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a-b}{2ab}\right)\left(\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a-b}{2ab}\right)=\dfrac{4ab}{4ab}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4ab}-\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4ab}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4ab}-\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4\left(ab\right)^2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4ab}=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4ab}\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4ab}\right)=0\)
\(\Rightarrow1-\dfrac{1}{ab}=0\Rightarrow ab=1\)
\(\Rightarrow\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
\(\Rightarrow x+y=0\Rightarrow y=-x\)
\(P=2\left(x^2+\left(-x\right)^2\right)+0=4x^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 11 2021
\(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+x+1\le x^2+2x+1\\2y^2+y+1\le y^2+2y+1\\2z^2+z+1\le z^2+2z+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(z+1\right)^2}=x+y+z+3=4\)
\(P_{max}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
MD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 4 2022
\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+9+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2+9-18\)
\(P\ge2\sqrt{9\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2}+2\sqrt{9\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2}-18\)
\(P\ge12x+12y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{y}-18\)
\(P\ge6\left(4x+\dfrac{1}{x}\right)+6\left(4y+\dfrac{1}{y}\right)-12\left(x+y\right)-18\)
\(P\ge6.2\sqrt{\dfrac{4x}{x}}+6.2\sqrt{\dfrac{4y}{y}}-12.1-18=18\)
\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
ML
7 tháng 5 2016
P=\(\left\{\frac{2x+1}{x}\right\}^2\)+\(\left\{\frac{2y+1}{y}\right\}^2\)=\(\left\{2+\frac{1}{x}\right\}^2\)+\(\left\{2+\frac{1}{y}\right\}^2\) >= 2.\(\left\{2+\frac{1}{x}\right\}^{ }\)\(\left\{2+\frac{1}{y}\right\}^{ }\)
P>= 2.\(\left\{4+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{xy}\right\}^{ }\)
P>=8 + 4\(\left\{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right\}^{ }\) + \(\frac{2}{xy}\)
P>= 8 + 4.\(\left\{\frac{x+y}{xy}\right\}^{ }\)+\(\frac{2}{xy}\)
P>= 8+ \(\frac{4}{xy}\)+\(\frac{2}{xy}\)
P>= 8+ \(\frac{6}{xy}\)>= 8+ 6.\(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)>= 8 + 6.4= 32
dấu = xảy ra khi x=y =\(\frac{1}{2}\)
DH
13 tháng 11 2019
a, \(A=\left|x+1\right|+\left|y-2\right|\)
\(A=\left|x+1\right|+\left|5-x-2\right|\)
\(A=\left|x+1\right|+\left|3-x\right|\ge x+1+3-x=4\)
Dấu " = " sảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1\ge0\\3-x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-1\le x\le3\)
Bạn có thể làm cách sau tuy hơi dài
Lấy x=1-y thay vào P rồi phá ngoặc lẫn dấu ra.
Ta sẽ tìm được GTNN của P.
Bài này hoàn toàn có thể giải bằng BĐT Cổ điển.
BĐT Cauchy-schwarz( Bunhiacopxki):
\(P\ge\frac{1}{2}.\left(2x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)
Việc còn lại không khó! :)