cho \(x^2+y^2=1\) Tìm GTLN,GTNN của
\(P=\frac{2\left(x^2+6xy\right)}{1+2xy+2y^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
GL
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 2 2019
Do \(x^2+y^2=1\Rightarrow\) đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=sina\\y=cosa\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{2sin^2a+12sina.cosa}{1+2sina.cosa+2cos^2a}=\dfrac{1-cos2a+6sin2a}{2+sin2a+cos2a}\)
\(\Leftrightarrow P\left(2+sin2a+cos2a\right)=1-cos2a+6sin2a\)
\(\Leftrightarrow\left(P-6\right)sin2a+\left(P+1\right)cos2a=1-2P\)
Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:
\(\left(P-6\right)^2+\left(P+1\right)^2\ge\left(1-2P\right)^2\)
\(\Leftrightarrow P^2+3P-18\le0\Rightarrow-6\le P\le3\)
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}P_{max}=3\\P_{min}=-6\end{matrix}\right.\)
ML
6 tháng 6 2015
Đặt \(a=x^2;b=y^2\left(a;b\ge0\right)\)
\(A=\frac{\left(a-b\right)\left(1-ab\right)}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2}\)
\(\left|A\right|=\frac{\left|\left(a-b\right)\left(1-ab\right)\right|}{\left(1+a\right)^2\left(1+b^2\right)}\le\frac{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2}\)
\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)=\left(a+b\right)+\left(1+ab\right)\ge2\sqrt{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\ge4\left(a+b\right)\left(1+ab\right)\)
\(\Rightarrow\left|A\right|\le4\)
\(\Rightarrow-4\le A\le4\)
\(A=-4\Leftrightarrow a=0;b=1\Leftrightarrow x=0;y=+1or-1\)
\(A=4\Leftrightarrow a=1;b=0\Leftrightarrow x=+-1;y=0\)
Vậy \(MinA=-4;MaxA=4\)
BD
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 5 2021
Lời giải:
Nếu $y=0$ thì $x^2=1$. Khi đó $P=2$
Nếu $y\neq 0$. Đặt $\frac{x}{y}=t$ thì:
$P=\frac{2(x^2+6xy)}{x^2+2xy+3y^2}=\frac{2(t^2+6t)}{t^2+2t+3}$
$P(t^2+2t+3)=2t^2+12t$
$t^2(P-2)+2(P-6)t+3P=0$
$\Delta'=(P-6)^2-3P(P-2)\geq 0$
$\Leftrightarrow (P-3)(P+6)\leq 0$
$\Leftrightarrow -6\leq P\leq 3$ nên $P_{\max}=3$
Vậy $P_{\max}=3$
Giá trị này đạt tại $(x,y)=(\frac{3}{\sqrt{10}}; \frac{1}{\sqrt{10}})$ hoặc $(\frac{-3}{\sqrt{10}}; \frac{-1}{\sqrt{10}})$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 5 2021
(2) có nghiệm khi Delta' lớn hơn hoặc bằng 0
Hơn nữa, công thức Delta' của em bị nhầm.
P=2(x^2+6xy)/(1+2xy+2y^2)
=2(x^2+6xy)/(x^2+2xy+3y^2)
*y=0=>P=2
*y#0:
Chia cả tử và mẫu của P cho y^2.
Đặt x/y=a,ta có:
P=2(a^2+6a)/(a^2+2a+3)
<=>(P-2)a^2+2(P-6)a+3P=0
∆'=(P-6)^2-3P(P-2)
=-P^2-3P+18>=0
<=>(P+6)(P-3)=<0
<=>-6=<P=<3
Vậy maxP=3<=>x/y=3 và x^2+y^2=1<=>x=±3/2;y=±1/2
MinP=-6<=>x/y=-3/2 và x^2+y^2=1<=>x=±1/√13;y=-+2/√13