Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của EF và AH. Chứng minh HD.AI=AD.HI
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 5 2019
Lời giải:
Xét tam giác $BFC$ và $BDA$ có:
\(\widehat{B}\) chung
\(\widehat{BFC}=\widehat{BDA}=90^0\)
\(\Rightarrow \triangle BFC\sim \triangle BDA(g.g)\Rightarrow \frac{BF}{BD}=\frac{BC}{BA}\)
Xét tam giác $BFD$ và $BCA$ có:
\(\widehat{B}\) chung
\(\frac{BF}{BD}=\frac{BC}{BA}\) (cmt)
\(\Rightarrow \triangle BFD\sim \triangle BCA(c.g.c)\)
\(\Rightarrow \widehat{BFD}=\widehat{BCA}(1)\)
Hoàn toàn tương tự: \(\triangle AFE\sim \triangle ACB(c.g.c)\)
\(\Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{ACB}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \widehat{BFD}=\widehat{AFE}\)
\(\Leftrightarrow 90^0- \widehat{BFD}=90^0-\widehat{AFE}\)
\(\Leftrightarrow \widehat{DFH}=\widehat{EFH}\Rightarrow FH\) là tia phân giác góc \(\widehat{DFE}\)
Mà \(FH\perp FA\) nên $FA$ là tia phân giác ngoài góc \(\widehat{DFE}\)
Theo tính chất tia phân giác ngoài và tia phân giác trong:
\(\frac{AI}{AD}=\frac{FI}{FD}=\frac{HI}{HD}\)
\(\Rightarrow AI.HD=AD.HI\)
Ta có đpcm.
17 tháng 12 2023
Ta có: ΔEAH vuông tại E
mà EI là đường trung tuyến
nên IE=IH
=>ΔIEH cân tại I
=>\(\widehat{IHE}=\widehat{IEH}\)
mà \(\widehat{IHE}=\widehat{BHD}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{BHD}=\widehat{BCE}\left(=90^0-\widehat{EBC}\right)\)
nên \(\widehat{IEH}=\widehat{BCE}\)
Ta có: ΔEBC vuông tại E
mà EO là đường trung tuyến
nên OE=OB
=>ΔOEB cân tại O
=>\(\widehat{OEB}=\widehat{OBE}\)
Ta có: \(\widehat{IEO}=\widehat{IEH}+\widehat{OEH}\)
\(=\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=90^0\)
=>ΔIEO vuông tại E
Ta có: ΔAFH vuông tại F
mà FI là đường trung tuyến
nên FI=IH
=>FI=IE
=>I nằm trên đường trung trực của FE(1)
Ta có: ΔBFC vuông tại F
mà FO là đường trung tuyến
nên \(FO=\dfrac{BC}{2}\)
mà EO=BC/2
nên FO=EO
=>O nằm trên đường trung trực của EF(2)
Từ (1) và (2) suy ra IO là đường trung trực của EF
=>IO\(\perp\)EF tại K và K là trung điểm của FE
Xét ΔIEO vuông tại E có EK là đường cao
nên \(IK\cdot IO=IE^2\)
=>\(IK\cdot IO=\left(\dfrac{1}{2}AH\right)^2=\dfrac{1}{4}AH^2\)
=>\(AH^2=4\cdot IK\cdot IO\)
10 tháng 11 2023
1: Xét ΔDCH vuông tại D và ΔDAB vuông tại D có
\(\widehat{DCH}=\widehat{DAB}\)
Do đó:ΔDCH đồng dạng với ΔDAB
=>\(\dfrac{DC}{DA}=\dfrac{DH}{DB}\)
=>\(DC\cdot DB=DA\cdot DH\)
2: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB đồng dạng với ΔAFC
=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
\(\widehat{FAE}\) chung
Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔABC
29 tháng 2 2020
bạn gửi lại link vào chỗ tin nhắn của mk đc ko. THANKS!!!
NY
24 tháng 8 2020
Có AD \(\perp\)BC nên ta có \(\widehat{ACD}=90-\widehat{DAC}\)
cmtt có \(\widehat{AHE}=90-\widehat{DAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{AHE}\)
mà \(\widehat{AFE}=\widehat{AHE}\)
\(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACD}\)
Xét \(\Delta\) AFE và \(\Delta\) ABC có
\(\widehat{AFE}=\widehat{ACD}\left(cmt\right)\)
\(\widehat{BAC}chung\)
\(\Rightarrow\Delta AFE\infty\Delta ABC\left(g-g\right)\)
#cỪu