Question

[ttt]

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì trên (O), AM cắt tiếp tuyến B của đường tròn (O) tại C. Tìm vị trí M để 2AM+AC min

Answer 1

[Lê Song Phương]

Không vẽ hình vì sợ duyệt nhé.

Dễ thấy rằng \(\widehat{AMB}=90^0\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow BM\perp AC\)tại M

\(\Rightarrow\)BM là đường cao của \(\Delta ABC\)

Đường tròn (O;R) có CB là tiếp tuyến tại B \(\Rightarrow AB\perp BC\)tại B \(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông tại B

\(\Delta ABC\)vuông tại B, đường cao BM \(\Rightarrow AB^2=AM.AC\)(htl) \(\Leftrightarrow2AB^2=2AM.AC\)\(\Leftrightarrow8R^2=2AM.AC\)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: \(2AM+AC\ge2\sqrt{2AM.AC}=2\sqrt{8R^2}=4R\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(2AM=AC\)\(\Rightarrow\)M là trung điểm AC \(\Rightarrow\)BM là trung tuyến của \(\Delta ABC\)

Mà \(\Delta ABC\)vuông tại B \(\Rightarrow BM=\frac{AC}{2}\)\(\Rightarrow BM=AM\left(=\frac{AC}{2}\right)\)\(\Rightarrow\widebat{AM}=\widebat{BM}\)

\(\Rightarrow\)M là điểm chính giữa của cung AB

Như vậy để \(2AM+AC\)đạt GTNN thì M là điểm chính giữa của cung AB.