Question

[TH]

Cho A = (1/1.2 + 1/3.4 + 1/5.6 +...+ 1/67.68).35.36...67.67

Chung minh rang A chi ahet cho 103

Answer 1

[Phạm Ban Mai]

Chứng tỏ A=(1/1.2+1/3.4+1/5.6+...+1/67.68).35.36.37...67.68  chia hết cho 103

(có dấu hiệu "hiệu hai số hạng của tích dưới mẫu bằng tử" ở tổng chuỗi trong ngoặc)

(tách các phần tử trong ngoặc thành 2 phân số)

A=(1/1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...+1/67-1/68).35.36.37...67.68

(chuỗi đan xen dấu liên tiếp có thể rút gọn bằng cách thêm bớt như sau:)

(tách thành 2 tổng có mẫu chẵn lẻ, dấu âm dương)

=[(1/1+1/3+1/5+...+1/67)-(1/2+/14+1/6+...+1/68)].35.36.37...67.68

(thêm và bớt 1/2+1/4+1/6+...+1/68 vào tổng ngoặc đơn đầu để được chuỗi liên tiếp, bớt ở ngoặc đơn sau để được 2 lần tổng chuỗi có mẫu chẵn)

=[(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6...+1/67+1/68)-2.(1/2+1/4+1/6+...+1/68).35.36.37...67.68 (nhân phân phối 2 vào ngoặc đơn có mẫu chẵn để được chuỗi liên tiếp) =[(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/68)-(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/34)].35.36.37...67.68 (phá ngoặc, giản ước các cặp số đối) =(1/35+1/36+...+1/67+1/68).35.36.37...67.68  (1) Đến đây cần biến đổi (1) thành tích của 103 nhân với biểu thức có giá trị nguyên, tuy nhiên 103 là số nguyên tố và chuỗi 35.36...67.68 không có phần tử nào là ước của 103. Cần biến đổi tổng thành biểu thức có nhân tử chung là 103 => nhóm một số số hạng lại để xuất hiện 103. Thử tính thấy 35+68=36+67=...=51+52=103 => nhóm theo cặp như sau: (1)=[(1/35+1/68)+(1/36+1/37+...+(1/51+1/52)].35.36.37...67.68 =(\(\dfrac{35+68}{35.68}\)+\(\dfrac{36+67}{36.67}\)+...+\(\dfrac{51+52}{51.52}\)).35.36.37...67.68 =103.(1/35.68+1/36.67+...+1/51.52).35.36.37...67.68 (2) Do chuỗi 35.36.37...67.68 đều chứa các cặp số là tích ở mẫu mỗi phần tử trong tổng chuỗi các phân số tại biểu thức sau 103 nên biểu thức này là một số nguyên => (2) chia hết cho 103 => A chia hết cho 103 (ĐPCM)  

Answer 2

[Phạm Ban Mai]

Chứng tỏ A=(1/1.2+1/3.4+1/5.6+...+1/67.68).35.36.37...67.68  chia hết cho 103

Có dấu hiệu "hiệu hai số hạng của tích dưới mẫu bằng tử" ở tổng chuỗi trong ngoặc => tách các phần tử trong ngoặc thành 2 phân số

A=(1/1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...+1/67-1/68).35.36.37...67.68

Chuỗi đan xen dấu liên tiếp có thể rút gọn bằng cách thêm bớt như sau:

B1: tách thành 2 tổng có mẫu chẵn lẻ, dấu âm dương

=[(1/1+1/3+1/5+...+1/67)-(1/2+/14+1/6+...+1/68)].35.36.37...67.68

B2: thêm và bớt 1/2+1/4+1/6+...+1/68 vào tổng ngoặc đơn đầu để được chuỗi liên tiếp, bớt ở ngoặc đơn sau để được 2 lần tổng chuỗi có mẫu chẵn

=[(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6...+1/67+1/68)-2.(1/2+1/4+1/6+...+1/68).35.36.37...67.68

B3: nhân phân phối 2 vào ngoặc đơn có mẫu chẵn để được chuỗi liên tiếp

=[(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/68)-(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/34)].35.36.37...67.68

B4: phá ngoặc, giản ước các cặp số đối

=(1/35+1/36+...+1/67+1/68).35.36.37...67.68  (1)

Đến đây cần biến đổi (1) thành tích của 103 nhân với biểu thức có giá trị nguyên, tuy nhiên 103 là số nguyên tố và chuỗi 35.36...67.68 không có phần tử nào là ước của 103.

Cần biến đổi tổng thành biểu thức có nhân tử chung là 103 => nhóm một số số hạng lại để xuất hiện 103. Thử tính thấy 35+68=36+67=...=51+52=103 => nhóm theo cặp như sau:

(1)=[(1/35+1/68)+(1/36+1/37+...+(1/51+1/52)].35.36.37...67.68

=($\genfrac{}{}{0ex}{}{35+68}{35.68}$+$\genfrac{}{}{0ex}{}{36+67}{36.67}$+...+$\genfrac{}{}{0ex}{}{51+52}{51.52}$).35.36.37...67.68

=103.(1/35.68+1/36.67+...+1/51.52).35.36.37...67.68 (2)

Do chuỗi 35.36.37...67.68 đều chứa các cặp số là tích ở mẫu mỗi phần tử trong tổng chuỗi các phân số tại biểu thức sau 103 nên biểu thức này là một số nguyên

=> (2) chia hết cho 103 => A chia hết cho 103 (ĐPCM)