Chưng minh: \(\frac{a+b}{2}>=\sqrt{ab};\) với a; b dương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 8 2016
a) CM bằng biến đổi tương đương : \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\Leftrightarrow a+b< a+b+2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\sqrt{ab}>0\) (luôn đúng)
=> bđt đc cm
b) Áp dụng bđt \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) với x = \(\sqrt{a}\) , y = \(\sqrt{b}\) , z = \(\sqrt{c}\) được đpcm
c) thừa hạng tử c???
Bài của bạn cần thêm điều kiện a,b,c > 0
14 tháng 10 2015
1) \(\frac{100}{\sqrt{100}}=\frac{100}{10}=10\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{2}}+....+\frac{100}{\sqrt{100}}>\frac{100}{\sqrt{100}}=10\)
2) Xét hiệu: \(\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{a-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+b}{2}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\ge0\)
=> \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
Vậy....
14 tháng 10 2015
a) đặt A=vế trái ,sau khi rút gọc tử và mẫu của từng số hạng ta đc
A=\(\sqrt{1}\)+\(\sqrt{2}\)+\(\sqrt{3}\)+...+\(\sqrt{100}\)
vì \(\sqrt{100}\)=10
\(\sqrt{1}\)>0
\(\sqrt{2}\)>0
...
\(\sqrt{99}\)>0
cộng lại ta sẽ đc A>0
b)
(a-b)2>=0
=>a2+b2>=2ab
=>a2+2ab+b2>=2ab+2ab
=>(a+b)2>=4ab
=>a+b>=2.\(\sqrt{ab}\) với mọi a,b>0
=>dpcm (chia cả 2 vế cho 2)
MT
14 tháng 8 2015
\(=\frac{\sqrt{b}.\left(a+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\cdot\sqrt{\frac{\left(\sqrt{ab}-b\right)^2}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}}\cdot\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{b}.\left(a+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\cdot\frac{\sqrt{b}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a+\sqrt{b}}\cdot\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=b\left(\text{điều phải chứng minh}\right)\)
9 tháng 6 2017
a) Bình phương 2 vế được: \(\frac{4ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\le\sqrt{ab}\)
<=> \(4ab\le\sqrt{ab}\left(a+b\right)+2ab\)
<=>\(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\ge2ab\)
<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\forall a,b>0\)
Vì a,b dương nên theo BĐT AM-GM ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(ĐPCM\right)\)