Cho \(x+y+z=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(2xy+xz+yz\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
0
YY
2
PN
6 tháng 9 2020
C1 : Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)< =>2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*
Suy ra được : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx=1< =>\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge1\)
\(< =>x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2\ge1\)(*)
Bất đẳng thức chứng minh có thể viết theo dạng : \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
\(< =>2\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)< =>2x^4+2y^4+2z^4\ge2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2\)(**)
Cộng theo vế bất đẳng thức (*) và (**) ta được : \(x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+2x^4+2y^4+2z^4\ge2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+1\)
\(< =>3\left(x^4+y^4+z^4\right)+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)-2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge1\)
\(< =>3\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge1< =>x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy GTNN của \(x^4+y^4+z^4=\frac{1}{3}\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
PN
6 tháng 9 2020
C2 : Ta có : \(x^4+y^4+z^4=\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\)
Sử dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge2ab< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
Khi đó : \(\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}y^2+\frac{2}{3}z^2-\frac{1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{1}{3}\)(*)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)< =>2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được :
\(\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(xy+yz+zx\right)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)( Do \(xy+yz+zx=1\)) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
Hay \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy GTNN của \(x^4+y^4+z^4=\frac{1}{3}\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
KH
3
3 tháng 6 2016
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1+2\left(ab+bc+ca\right).\)
\(\Rightarrow A=\left(ab+bc+ca\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\)với mọi a,b,c
Vậy A nhỏ nhất bằng -1/2 khi a+b+c =0
B
29 tháng 5 2022
Ta có : \((x-\dfrac{1}{3})^2+(y-\dfrac{1}{3})^2+(z-\dfrac{1}{3})^2>=0\)
\(=>x^2+y^2+z^2-\dfrac{2}{3}(x+y+z)+\dfrac{1}{3}\ge0\)
\(=>x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)
\(=>1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)
\(=>x+y+z\le2\)
Do đó : \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1+2(ab+bc+ca).\)
\(=>A=(ab+ac+bc)=\dfrac{1}{2}(a+b+c)^2-\dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{2}.2^2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 2 2021
\(4x^2+4y^2\ge8xy\)
\(16x^2+z^2\ge8zx\)
\(16y^2+z^2\ge8yz\)
Cộng vế với vế:
\(20x^2+20y^2+2z^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow10x^2+10y^2+z^2\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)
2 tháng 8 2021
a/ giá trị nhỏ nhất của A là 2
b/ giá trị lớn nhất của B là 51
2 tháng 8 2021
tớ chỉ có bài tham khảo trên mạng thôi bạn thông cảm
Ta có: x + y = 1
<=> (x + y)3 = 1
<=> x3 + y3 + 3xy(x + y) = 1
<=> x3 + y3 + 3xy = 1 (do x + y = 1)
<=> x3 + y3 = 1 - 3xy
Áp dụng BĐT Cô - si, ta có:
xy >= (x+y)24=14(x+y)24=14
<=> -3xy≥−34≥−34
Ta có x3 + y3 = 1 - 3xy ≥1−34=14≥1−34=14
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1212
Vậy GTNN của x3 + y3 là 1414khi x = y = 12
dễ thế mà không làm được
Đáp án là 1/2 bạn nhé.