Question

[Doraemon]

Cho a , b , c là các số nguyên và a + b + c chia hết cho 6. Chứng minh : \(M=a^3+b^3+c^3\) cũng chia hết cho 6

Answer 1

[Trần Thị Loan]

Xét (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b) = a³ + b³ + 3ab.(a+b)

Tương tự ta có: (a+b+c)³ = [(a+b) + c]³ = (a+b)³ + c³ + 3(a+b).c.(a+b+c)

= a³ + b³ + 3ab.(a+b) + c³ + 3(a+b).c.(a+b+c)

=> a³ + b³  + c³ = (a+b+c)³ - 3ab(a+b) -  3(a+b).c.(a+b+c)  chia hết cho 6,vì:

a+ b+c chia hết cho 6 nên  (a+b+c)³ chia hết cho 6 và 3(a+b).c.(a+b+c)  chia hết cho 6

Tích ab(a+b)  luôn chia hêt 2 ( Vì nếu 1 trong 2 số a; b chẵn hay a;b cùng chẵn thì tích a.b chẵn; nếu a;b cùng lẻ thì a+ b chẵn)

=> 3ab(a+b)  luôn chia hết  cho 6

Vậy  a³ + b³  + c³ luôn chia hết cho 6

Answer 2

[doremon]

Xét hiệu : (a³ + b³ + c³) - (a + b + c) = a³ + b³ + c³ - a - b - c = (a³ - a) + (b³ - b) + (c³ - c) = a(a² - 1) + b(b² - 1) + c(c² - 1) = a(a - 1)(a + 1) + b(b - 1)(b + 1) + c(c - 1)(c + 1)

a(a - 1)(a + 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 2 và 3 

Mà (2,3) = 1

=> a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 6 

Tương tự b(b - 1)(b + 1) chia hết cho 6

c(c -1)(c + 1) chia hết cho 6

=>(a³ + b³ + c³) - (a + b + c) chia hết cho 6 

Mà a + b + c chia hết cho 6

=>a³ + b³ + c³ chia hết cho 6(đpcm)