Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ dây AC bằng R. Từ C kẻ dây CD vuông góc với AB.
a) Chứng minh tam giác OAC đều.
b) Chứng minh tứ giác ACOD là hình thoi
c) Tính BC theo R
d) Tiếp tuyến tại B của đường tròn cắt đường thẳng AC tại Q. Chứng minh OC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCQ.
a/ Xét \(\Delta OAC\) có
OA=OC=AC=R =>\(\Delta OAC\) là tg đều
b/ Gọi I là giao của CD với AB
\(AB\perp CD\Rightarrow IC=ID\) (trong đường tròn đường kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung) (1)
\(CD\perp AB\) => CD là đường cao của tg OAC => CD là trung tuyến của tg OAC (trong tg cân đường cao xp từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến) => IA=IO (2)
Từ (1) và (2) => ACOD là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)
\(CD\perp AB\Rightarrow CD\perp AO\)
=> ACOD là hình thoi (Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi)
c/
Ta có
\(IA=IO\Rightarrow IO=\frac{OA}{2}=\frac{R}{2}\)
Xét tg vuông COI có \(IC=\sqrt{OC^2-IO^2}=\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}}=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)
\(BI=OB+IO=R+\frac{R}{2}=\frac{3R}{2}\)
Xét tg vuông IBC có \(BC=\sqrt{BI^2+IC^2}=\sqrt{\frac{9R^2}{4}+\frac{3R^2}{4}}=R\sqrt{3}\)
d/
Ta có \(\widehat{ACB}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow\widehat{BCQ}=90^o\)
=> C nhìn BQ dưới 1 góc vuông => C thuộc đường tròn đường kính BQ. Đây chính là đường tròn ngoại tiếp tg BCQ
Ta có \(\widehat{BCO}=\widehat{BCA}-\widehat{ACO}=90^o-60^o=30^o\)
\(sd\widehat{CAB}=\frac{1}{2}sd\) cung BC (góc nội tiếp đường tròn) (1)
\(sd\widehat{CBM}=\frac{1}{2}sd\)cung BC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) (2)
Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tg BCQ => MQ=MB
Ta có MC = MQ = MB (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)
=> tg MBC cân tại M \(\Rightarrow\widehat{BCM}=\widehat{CBM}\) (góc ở đáy tg cân) (3)
Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{BCM}=\widehat{CAB}=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{OCM}=\widehat{BCM}+\widehat{BCO}=60^o+30^o=90^o\Rightarrow OC\perp MC\)=> OC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tg BCQ