Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và \(\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\). Đường phân giác trong của góc BAC cắt đoạn BC tại D. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC. K là giao điểm của...

KH

Kimian Hajan Ruventaren

8 tháng 3 2021

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và \(\widehat{ABC}\widehat{ACB}\). Đường phân giác trong của góc BAC cắt đoạn BC tại D. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC. K là giao điểm của CE và BF. Đường thẳng BF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK tại điểm thứ hai là H ( H khác K). Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AK và BC. CMa) \(IC.EB=IB.FC\)b) \(DH\perp...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

0

VH

Võ Hoàng Thảo Phương

5 tháng 5 2019 - olm

Cho tam giác ABC có ba goc nhọn ội tiếp đường tròn O bán kính R. Các phân giác của góc ABC, góc ACB lần lượt cắt đường tròn tại E, F. Gọi M là giao điểm Ò và AB, N là giao điểm OE vad AC. I lad giao điểm BE và CF, D là điểm đối xứng I quá BC. Chứng minh ID vuông góc MN và D nằm trên O thì góc BAC = 60

#Toán lớp 9

0

NT

Nguyễn Thị Ngọc Mai

15 tháng 9 2019 - olm

Cho tam giác nhọn ABC . Phân giác góc A cắt cạnh BC tại D . Gọi K và M lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC

a, Cmr AD vuông góc với KM

b, Đặt góc BAC bằng a . Gọi S là giao điểm của KD và AC. Cmr KM=AD. sin

#Toán lớp 9

0

TN

Tuấn Nguyễn

12 tháng 6 2019 - olm

Cho tam giác ABC có AC < A. Gọi d1 và d2 lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài của góc BAC. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên d1 và d2. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên d1 và d2.a) Chứng minh rằng MN và PQ lần lượt đi qua trung điểm của AB và AC.b) Chứng minh rằng MN và PQ cắt nhau trên BC.c) Trên d, lấy các điểm E và F sao cho...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

AN

Ánh Ngọc

10 tháng 2 2022

cho tam giác abc có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm o bán kính r có tia phân giác góc abc và acb lần lượt cắt đường tròn o tại e và f CM: OF vuông góc với AB và OE vuông góc với AC gọi M là giao điểm của OF và AB , N là giao điểm của OE và AC. CM : AMON nội...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

NT

Nguyễn Thái Anh

9 tháng 3 2016 - olm

Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC, H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. CM 3 điểm B,O,K thẳng hàngCho tam giác ABC nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC, H là hình chiếu của O trên AC....

Đọc tiếp

#Toán lớp 7

0

NH

ngo hoang khang

9 tháng 6 2019 - olm

Cho tam giác ABC nhọn có góc BAC> góc ACB. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M,N,E. Gọi K là giao điểm của BO và NE. Chứng minh

a) \(\widehat{AOB}=90^{\sigma}+\frac{\widehat{ACB}}{2}\)

b) 5 điểm A, M, K, O, E cùng thuộc một đường tròn

c Gọi T là giao điểm BO với AC. Chứng minh: KT.BN = KB.ET

#Toán lớp 9

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

9 tháng 6 2019

a) Có ^AOB = 180⁰ - ^OAB - ^OBA = 180⁰ - ^BAC/2 - ^ABC/2 = 90⁰ + (180⁰ - ^BAC - ^ABC)/2 = 90⁰ + ^ACB/2

b) Dễ thấy A,M,O,E cùng thuộc đường tròn đường kính OA (Vì ^AMO = ^AEO = 90⁰) (1)

Ta có ^AOK = 180⁰ - ^AOB = 180⁰ - (90⁰ + ^ABC/2) = 90⁰ - ^ACB/2 = ^CEN (Do \(\Delta\)CEN cân tại C)

=> Tứ giác AOKE nội tiếp hay A,O,K,E cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra năm điểm A,M,K,O,E cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

c) Ta thấy A,O,K,E cùng thuộc một đường tròn (cmt) và OK cắt AE tại T

Nên \(\frac{KT}{ET}=\frac{AT}{OT}\)(Hệ thức lượng đường tròn). Kết hợp \(\frac{AT}{OT}=\frac{AB}{OB}\)(AO là phân giác ^BAT)

Suy ra \(\frac{KT}{ET}=\frac{AB}{OB}\). Mặt khác: ^BKN = ^OAE = ^BAO và ^NBK = ^OBA => \(\Delta\)BKN ~ \(\Delta\)BAO (g.g)

=> \(\frac{AB}{OB}=\frac{KB}{NB}\). Từ đây \(\frac{KT}{ET}=\frac{KB}{BN}\)=> KT.BN = KB.ET (đpcm).

Đúng(0)

IL

I lay my love on you

10 tháng 2 2020 - olm

Cho (O;R) và dây cung BC cố định (BC<2R).Điểm A di động trên đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn,Gọi AD là đường cao của tam giác ABC và H là trực tâm tam giác ABCa)Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài góc BHC cắt AB,AC lần lượt tại M,N.Chưng minh tam giác AMN cânb)Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của D trên BH,CH.Chứng minh OA vuông goác với EFc)Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

1 tháng 7 2021

a) Ta thấy \(\widehat{AMN}=\widehat{ABH}+\frac{1}{2}\widehat{BHQ}=\widehat{ACH}+\frac{1}{2}\widehat{CHP}=\widehat{ANM}\). Suy ra \(\Delta AMN\) cân tại A.

b) Dễ thấy tứ giác BEFC và BQPC nội tiếp, suy ra \(\widehat{HEF}=\widehat{HCB}=\widehat{HPQ}\), suy ra EF || PQ

Hiển nhiên \(OA\perp PQ\). Do đó \(OA\perp EF.\)

c) Gọi MK cắt BH tại I, NK cắt CH tại J, HK cắt BC tại S.

Vì A,K là trung điểm hai cung MN của (AMN) nên AK là đường kính của (AMN)

Suy ra \(MK\perp AB,NK\perp AC\)hay MK || CH, NK || BH

Ta có \(\Delta BHQ~\Delta CHP\), theo định lí đường phân giác và Thales thì:

\(\frac{IH}{IB}=\frac{MQ}{MB}=\frac{NP}{NC}=\frac{JH}{JC}\). Suy ra IJ || BC

Cũng từ MK || CH, NK || BH suy ra HIKJ là hình bình hành hay HK chia đôi IJ

Do vậy HK chia đôi BC theo bổ đề hình thang. Vậy HK đi qua S cố định.

Đúng(0)

G

ภ丶гєєรє❄